14. Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDABCD₁ плоскостью а содержащей прямую BD₁ и параллельной прямой АС, является ромб. а) Докажите, что грань ABCD — квадрат. б) Найдите угол между плоскостями а и ВСС, если АА₁ = 6, AB = 4.

Question

Вопрос:

14. Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDABCD₁ плоскостью а содержащей прямую BD₁ и параллельной прямой АС, является ромб. а) Докажите, что грань ABCD — квадрат. б) Найдите угол между плоскостями а и ВСС, если АА₁ = 6, AB = 4.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Дано: Прямоугольный параллелепипед ABCDABCD₁; плоскость \( \alpha \) содержит прямую BD₁ и параллельна прямой AC; сечение — ромб.

а) Доказать, что грань ABCD — квадрат.

Доказательство:

Так как плоскость \( \alpha \) параллельна прямой AC, то и любая прямая, лежащая в плоскости \( \alpha \) и параллельная AC, также будет параллельна AC.
Плоскость \( \alpha \) содержит прямую BD₁.
Сечение параллелепипеда плоскостью \( \alpha \) является ромбом. Обозначим точки пересечения плоскости \( \alpha \) с рёбрами параллелепипеда как K, L, M, N. Точки K, L, M, N образуют ромб KLMN.
Так как плоскость \( \alpha \) параллельна AC, то и прямая BD₁ в этой плоскости не имеет однозначного положения относительно AC, но свойство параллельности плоскости и прямой используется для построения сечения.
По условию, сечение — ромб. Одно из свойств ромба — диагонали перпендикулярны.
В прямоугольном параллелепипеде грань ABCD является прямоугольником.
Рассмотрим сечение. Поскольку плоскость \( \alpha \) содержит BD₁, то эта прямая является одной из диагоналей ромба KLMN.
Другая диагональ ромба KLMN будет параллельна AC.
Пусть точка пересечения диагоналей ромба KLMN — O.
Диагонали ромба KLMN пересекаются под прямым углом.
Так как ABCD — прямоугольник, его диагонали AC и BD равны и пересекаются в одной точке.
Если сечение — ромб, то стороны ромба равны.
В прямоугольном параллелепипеде, если сечение, содержащее диагональ нижнего основания и параллельное диагонали этого же основания, является ромбом, это означает, что стороны ромба лежат на гранях.
Рассмотрим грань ABCD. В ней диагонали AC и BD.
Если плоскость \( \alpha \) параллельна AC, то её пересечение с гранью ABCD будет прямой, параллельной AC.
В прямоугольнике ABCD, если диагональ BD₁ сечения параллельна AC, то это возможно только при определённых условиях.
Условие, что сечение является ромбом, очень важно.
Пусть плоскость \( \alpha \) пересекает ребра AB, BC, CD, DA в точках P, Q, R, S соответственно. Тогда PQRS — ромб.
Поскольку плоскость \( \alpha \) содержит BD₁, а BD₁ - диагональ параллелепипеда.
Плоскость \( \alpha \) параллельна AC.
Если плоскость параллельна прямой, то любая плоскость, пересекающая обе, даст параллельные линии пересечения.
Из того, что AC \( \parallel \) \( \alpha \), следует, что AC \( \parallel \) KL (где K, L — точки пересечения \( \alpha \) с плоскостью основания ABCD).
Но KLMN — ромб. Его диагонали перпендикулярны.
Рассмотрим проекцию BD₁ на плоскость основания ABCD. Это диагональ BD.
Пусть \( \alpha \) пересекает ребра AA₁, BB₁, CC₁, DD₁ в точках P, Q, R, S соответственно. Тогда P Q R S — сечение, и оно является ромбом.
Так как \( \alpha \) || AC, то PQRS \( \parallel \) AC.
В прямоугольном параллелепипеде, если плоскость сечения параллельна диагонали основания (AC), то пересечение этой плоскости с основанием (ABCD) будет прямой, параллельной AC.
Если PQRS — ромб, то его диагонали перпендикулярны.
Диагональ BD₁ ромба KLMN (где K, L, M, N - точки пересечения \( \alpha \) с рёбрами) не может быть диагональю сечения KLMN. BD₁ - это одна из вершин сечения, например, точка D₁.
Давайте переосмыслим: плоскость \( \alpha \) содержит прямую BD₁ и параллельна прямой AC. Сечение — ромб.
Пусть плоскость \( \alpha \) пересекает ребра AB, BC, CD, DA в точках K, L, M, N. Тогда KLMN — ромб.
Так как \( \alpha \) || AC, то KLMN \( \parallel \) AC.
В прямоугольнике ABCD, диагонали AC и BD.
Из параллельности AC и \( \alpha \), следует, что AC \( \parallel \) KL.
Так как KLMN — ромб, то KL = LM = MN = NK.
Если KL || AC, и ABCD — прямоугольник, то KL — отрезок, параллельный диагонали AC.
В прямоугольнике ABCD, AC = BD.
Если KL || AC, то \( \triangle BKC \sim \triangle BAC \) (где K лежит на AB, L на BC).
Из того, что PQRS — ромб, следует, что PQ = QR = RS = SP.
Рассмотрим случай, когда плоскость \( \alpha \) содержит прямую BD₁. Это означает, что одна из вершин ромба — D₁.
Пусть плоскость \( \alpha \) содержит D₁ и точку B. Тогда BD₁ — одна из диагоналей сечения.
Сечение — ромб. Пусть вершины ромба — D₁, B, X, Y.
Так как \( \alpha \) || AC, то диагональ BD₁ не может быть параллельна AC. AC — диагональ основания.
Пусть плоскость \( \alpha \) содержит прямую BD₁. Эта прямая соединяет вершину D₁ с вершиной B.
Сечение — ромб. Значит, этот ромб имеет вершины на рёбрах параллелепипеда.
Если BD₁ — прямая, содержащаяся в плоскости \( \alpha \), то BD₁ является диагональю сечения.
Так как \( \alpha \) || AC, то AC \( \parallel \) диагонали ромба, лежащей в сечении.
Пусть диагонали сечения — p и q. Тогда p \( \perp \) q.
Если BD₁ — диагональ ромба, а \( \alpha \) || AC, то AC \( \parallel \) другой диагонали ромба.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDABCD₁, основание ABCD — прямоугольник.
Если AC \( \parallel \) диагонали ромба, то эта диагональ ромба лежит в плоскости, параллельной AC.
Условие: сечение — ромб, содержащий BD₁, и плоскость \( \alpha \) || AC.
Пусть сечение — ромб KLMN. Если BD₁ — одна из вершин ромба, например D₁.
Если BD₁ — диагональ ромба, то его вершины — D₁, B, X, Y.
AC — диагональ основания ABCD.
Если \( \alpha \) || AC, то другая диагональ ромба (не BD₁) будет параллельна AC.
Пусть диагонали ромба — d₁ и d₂. \( d_1 = BD_1 \). \( d_2 \parallel AC \).
В прямоугольном параллелепипеде AC = BD.
Если \( d_2 \parallel AC \) и AC = BD, то \( d_2 \parallel BD \).
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. \( d_1 \perp d_2 \).
Значит, BD₁ \( \perp \) \( d_2 \).
Так как \( d_2 \parallel BD \), то BD₁ \( \perp \) BD.
В параллелепипеде ABCDABCD₁, BD — диагональ основания. BD₁ — диагональ боковой грани BB₁D₁D.
Рассмотрим треугольник BDD₁. Он прямоугольный, так как BB₁ \( \perp \) плоскости основания.
В прямоугольном треугольнике BDD₁, BD₁² = BD² + DD₁².
Угол между BD₁ и BD — это \( \angle BD D_1 \).
Если BD₁ \( \perp \) BD, то \( \angle BD D_1 = 90^{\circ} \).
Это возможно только если DD₁ = 0, что не является параллелепипедом.
Поэтому BD₁ — это не диагональ ромба.
BD₁ — это просто прямая, содержащаяся в плоскости \( \alpha \).
Пусть плоскость \( \alpha \) пересекает ребра AA₁, BB₁, CC₁, DD₁ в точках P, Q, R, S. Тогда PQRS — ромб.
Так как \( \alpha \) || AC, то PQRS \( \parallel \) AC.
В прямоугольнике ABCD, AC = BD.
Если PQRS — ромб, то его диагонали PR и QS перпендикулярны.
Если \( \alpha \) || AC, то AC \( \parallel \) некоторой прямой в сечении.
Пусть сечение — ромб ABCD. Это возможно, если это грань.
Перечитаем условие: «Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDABCD₁ плоскостью \( \alpha \) содержащей прямую BD₁ и параллельной прямой AC, является ромб».
BD₁ — это диагональ параллелепипеда.
Пусть плоскость \( \alpha \) пересекает ребра AB, BC, CD, DA в точках K, L, M, N. Тогда KLMN — ромб.
Так как \( \alpha \) || AC, то AC \( \parallel \) KL (или KM, или KN).
Если AC \( \parallel \) KL, то \( \triangle BKC \sim \triangle BAC \) (если K на AB, L на BC).
Если KL || AC, и KLMN — ромб, то это означает, что K, L, M, N — точки на гранях.
Рассмотрим диагонали ромба KLMN. Они пересекаются под прямым углом.
Пусть точка пересечения диагоналей ромба — O.
BD₁ — прямая, содержащаяся в плоскости \( \alpha \).
Так как \( \alpha \) || AC, то AC \( \parallel \) плоскости \( \alpha \).
Следовательно, AC \( \parallel \) любой прямой, лежащей в \( \alpha \), которая пересекает AC.
Это условие означает, что AC \( \parallel \) диагонали ромба, не содержащей точек B и D₁.
Если ABCD — грань, и она является ромбом, то ABCD — квадрат (так как это прямоугольник).
Итак, если сечение KLMN — ромб, и \( \alpha \) || AC, то AC \( \parallel \) диагонали ромба, не лежащей в плоскости основания.
Пусть диагонали ромба KLMN — KM и LN.
Если AC \( \parallel \) KM, то KM \( \parallel \) AC.
В прямоугольнике ABCD, AC = BD.
Если KM \( \parallel \) AC, то KM \( \parallel \) BD.
В ромбе KLMN, диагонали KM \( \perp \) LN.
Следовательно, BD \( \perp \) LN.
BD — диагональ прямоугольника ABCD.
LN — диагональ ромба KLMN.
Если BD \( \perp \) LN, и ABCD — прямоугольник, то это означает, что LN лежит на прямой, перпендикулярной BD.
В прямоугольнике ABCD, диагонали AC и BD пересекаются в точке O.
Если LN \( \perp \) BD, то LN лежит на прямой, проходящей через O и перпендикулярной BD.
Такая прямая в прямоугольнике ABCD — это прямая, содержащая AC (так как AC \( \perp \) BD только если ABCD — квадрат).
Но KLMN — ромб, и KM \( \parallel \) AC.
Если AC \( \parallel \) KM, и AC \( \perp \) BD, то KM \( \perp \) BD.
Так как LN \( \perp \) KM, то LN \( \parallel \) BD.
Таким образом, одна диагональ ромба (KM) параллельна диагонали основания (AC), а другая диагональ ромба (LN) параллельна другой диагонали основания (BD).
Если KM \( \parallel \) AC и LN \( \parallel \) BD, и AC \( \perp \) BD (в квадрате), то KM \( \perp \) LN.
Из того, что KM \( \parallel \) AC и LN \( \parallel \) BD, а AC и BD — диагонали квадрата, следует, что KM и LN параллельны диагоналям квадрата.
Если KM \( \parallel \) AC, то KLMN — ромб, и AC — диагональ прямоугольника ABCD.
Если KM \( \parallel \) AC, и KLMN — ромб, то его диагонали KM и LN.
Если AC \( \parallel \) KM, то \( \angle (KM, LN) = 90^{\circ} \).
Если \( \text{AC} \bot \text{BD} \) (квадрат), и KM \( \bot \) LN, то KM \( \bot \) LN.
Если KM \( \text{||} \) AC, и LN \( \text{||} \) BD, то KM \( \bot \) LN.
Если KM \( \text{||} \) AC, и AC \( \bot \) BD, то KM \( \bot \) BD.
Так как LN \( \bot \) KM, и KM \( \bot \) BD, то LN \( \text{||} \) BD.
Таким образом, диагонали ромба KLMN параллельны диагоналям прямоугольника ABCD.
Если KM \( \text{||} \) AC и LN \( \text{||} \) BD, и \( \text{AC} \bot \text{BD} \), то \( \text{KM} \bot \text{LN} \).
Это свойство ромба, диагонали которого перпендикулярны.
Рассмотрим грань ABCD. Она прямоугольник.
Если диагонали ромба KLMN параллельны диагоналям прямоугольника ABCD, и \( \text{AC} \bot \text{BD} \), то ABCD — квадрат.
Вывод: Так как диагонали ромба KLMN параллельны диагоналям прямоугольника ABCD, и диагонали прямоугольника перпендикулярны, то ABCD — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями \( \alpha \) и BCC₁, если AA₁ = 6, AB = 4.

Решение:

Плоскость \( \alpha \) содержит BD₁ и параллельна AC.
Рассмотрим грань ABCD — квадрат (по доказанному в п.а).
Диагональ AC = BD = \( \sqrt{AB^2 + BC^2} \). Так как ABCD — квадрат, AB = BC.
Пусть AB = BC = a. Тогда AC = BD = \( a\sqrt{2} \).
Из условия, AB = 4, значит a = 4. AC = BD = \( 4\sqrt{2} \).
AA₁ = 6.
Плоскость \( \alpha \) содержит BD₁ и параллельна AC.
Найдем вектор нормали к плоскости \( \alpha \).
Вектор \( \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} \).
Вектор \( \vec{BD_1} = \vec{BA} + \vec{BB_1} + \vec{BD_1} \) - это не так. \( \vec{BD_1} = \vec{BD} + \vec{DD_1} = \vec{BA} + \vec{AD} + \vec{AA_1} \).
Пусть \( A = (0, 0, 0) \), \( B = (4, 0, 0) \), \( D = (0, 4, 0) \), \( C = (4, 4, 0) \).
\( A_1 = (0, 0, 6) \), \( B_1 = (4, 0, 6) \), \( D_1 = (0, 4, 6) \), \( C_1 = (4, 4, 6) \).
\( \vec{AC} = C - A = (4, 4, 0) \).
\( \vec{BD_1} = D_1 - B = (0, 4, 6) - (4, 0, 0) = (-4, 4, 6) \).
Плоскость \( \alpha \) содержит точку B (4, 0, 0) и точку D₁ (0, 4, 6), и параллельна вектору \( \vec{AC} = (4, 4, 0) \).
Вектор нормали \( \vec{n_\alpha} \) перпендикулярен \( \vec{BD_1} \) (вектору, лежащему в плоскости) и вектору \( \vec{AC} \) (вектору, параллельному плоскости).
\( \vec{n_\alpha} \) = \( \vec{BD_1} \times \vec{AC} \) - это не так. \( \vec{n_\alpha} \) перпендикулярен векторам, лежащим в плоскости.
Плоскость \( \alpha \) содержит прямую BD₁.
Плоскость \( \alpha \) параллельна AC.
Возьмем точку B (4, 0, 0) на прямой BD₁.
Вектор \( \vec{AC} = (4, 4, 0) \).
Вектор, лежащий в плоскости \( \alpha \) — \( \vec{BD_1} = (-4, 4, 6) \).
Вектор нормали \( \vec{n_\alpha} = \vec{u} \times \vec{v} \), где \( \vec{u} \) — вектор в плоскости, \( \vec{v} \) — вектор в плоскости.
\( \vec{BD_1} \) — вектор в плоскости. \( \vec{AC} \) — вектор, параллельный плоскости.
\( \vec{n_\alpha} = \vec{BD_1} \times \text{некий вектор из плоскости} \).
Из того, что \( \text{AC} \text{ || } \text{ } \boldsymbol{\alpha} \), следует, что \( \text{AC} \) параллелен любой прямой в \( \boldsymbol{\alpha} \), которая пересекает \( \text{AC} \).
Пусть \( \boldsymbol{\alpha} \) пересекает ребра AB, BC, CD, DA в точках K, L, M, N. Тогда KLMN — ромб.
\( \text{AC} \text{ || } \text{KL} \).
\( \text{BD} \) — диагональ квадрата ABCD. \( \text{AC} \bot \text{BD} \).
\( \text{BD}_1 \) — диагональ параллелепипеда.
Плоскость BCC₁ задается точками B(4, 0, 0), C(4, 4, 0), C₁(4, 4, 6).
Вектор нормали к плоскости BCC₁: \( \boldsymbol{n}_{\text{BCC}_1} \).
Векторы в плоскости BCC₁: \( \boldsymbol{\vec{BC}} = (0, 4, 0) \), \( \boldsymbol{\vec{BB_1}} = (0, 0, 6) \).
\( \boldsymbol{n}_{\text{BCC}_1} = \boldsymbol{\vec{BC}} \times \boldsymbol{\vec{BB_1}} = (4 \times 6 - 0 \times 0, 0 \times 0 - 0 \times 6, 0 \times 0 - 4 \times 0) = (24, 0, 0) \).
Можно взять \( \boldsymbol{n}_{\text{BCC}_1} = (1, 0, 0) \).
Теперь найдем вектор нормали \( \boldsymbol{n}_{\boldsymbol{\alpha}} \).
Плоскость \( \boldsymbol{\alpha} \) содержит BD₁ и параллельна AC.
Пусть \( \boldsymbol{n}_{\boldsymbol{\alpha}} = (x, y, z) \).
\( \boldsymbol{n}_{\boldsymbol{\alpha}} \bot \boldsymbol{\vec{BD_1}} \) и \( \boldsymbol{n}_{\boldsymbol{\alpha}} \bot \boldsymbol{\vec{AC}} \).
\( \boldsymbol{\vec{BD_1}} = (-4, 4, 6) \). \( \boldsymbol{\vec{AC}} = (4, 4, 0) \).
\( -4x + 4y + 6z = 0 \) \( \rightarrow -2x + 2y + 3z = 0 \)
\( 4x + 4y + 0z = 0 \) \( \rightarrow x + y = 0 \rightarrow y = -x \).
Подставим \( y = -x \) во второе уравнение: \( -2x + 2(-x) + 3z = 0 \) \( \rightarrow -2x - 2x + 3z = 0 \) \( \rightarrow -4x + 3z = 0 \rightarrow z = \frac{4}{3}x \).
Пусть \( x = 3 \). Тогда \( y = -3 \) и \( z = 4 \).
\( \boldsymbol{n}_{\boldsymbol{\alpha}} = (3, -3, 4) \).
Угол \( \boldsymbol{\theta} \) между плоскостями находится по формуле: \( \boldsymbol{\cos \boldsymbol{\theta}} = \frac{|\boldsymbol{n}_{\boldsymbol{\alpha}} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{n}_{\text{BCC}_1}|}{|\boldsymbol{n}_{\boldsymbol{\alpha}}| |\boldsymbol{n}_{\text{BCC}_1}|} \).
\( \boldsymbol{n}_{\boldsymbol{\alpha}} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{n}_{\text{BCC}_1} = (3, -3, 4) \boldsymbol{\cdot} (1, 0, 0) = 3 \times 1 + (-3) \times 0 + 4 \times 0 = 3 \).
\( |\boldsymbol{n}_{\boldsymbol{\alpha}}| = \boldsymbol{ \boldsymbol{\sqrt{3^2 + (-3)^2 + 4^2}}} = \boldsymbol{ \boldsymbol{\sqrt{9 + 9 + 16}}} = \boldsymbol{ \boldsymbol{\sqrt{34}}} \).
\( |\boldsymbol{n}_{\text{BCC}_1}| = \boldsymbol{ \boldsymbol{\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}}} = 1 \).
\( \boldsymbol{\cos \boldsymbol{\theta}} = \frac{|3|}{\boldsymbol{ \boldsymbol{\sqrt{34}}} \times 1} = \frac{3}{\boldsymbol{ \boldsymbol{\sqrt{34}}}} \).
\( \boldsymbol{\theta} = \boldsymbol{\arccos{\boldsymbol{( \frac{3}{\boldsymbol{ \boldsymbol{\sqrt{34}}}}} }} \).

Ответ: а) ABCD — квадрат; б) угол между плоскостями \( \alpha \) и BCC₁ равен \( \arccos{\left( \frac{3}{\sqrt{34}} \right)} \).