14. Синтаксические нормы нарушены в предложениях:

1) В предложении 1 союз "и" соединяет однородные сказуемые "пользовались" и "стали применять", но второе сказуемое относится к другому подлежащему ("которые" - методы). Необходимо разделить предложение или перестроить.
2) В предложении 2 причастный оборот "находясь один в своём жилище" стоит после определяемого слова "Архимед", что грамматически неверно. Его следует поставить перед определяемым словом или заменить придаточным предложением.
3) В предложении 3 придаточное определительное "которые расположены на восточном побережье Сицилии" относится к слову "Город", но по смыслу должно относиться к "Сиракузы".
4) В предложении 4 избыточное сочетание "оттого что как какой-то" нарушает норму.
5) В предложении 5 придаточное причины "потому что не придавал им значения" относится к сказуемому "раздаривал", но по смыслу должно относиться к "Борис Житков" или быть перестроено.