14. Тане надо решить 260 задач. Ежедневно она решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём. Известно, что за первый день Таня решила 2 задачи. Определите, сколько задач решила Таня в последний день, если со всеми задачами она справилась за 13 дней. Ответ:

Решение:

Это задача на арифметическую прогрессию. Количество задач, решаемых Таней ежедневно, образует арифметическую прогрессию.

Дано:

• Общее количество задач \( S_{13} = 260 \)
• Количество дней \( n = 13 \)
• Первый член прогрессии (задачи в первый день) \( a_1 = 2 \)
• Разность прогрессии \( d = 1 \) (ежедневно решает на 1 задачу больше)

Найти:

• Последний член прогрессии (задачи в последний день) \( a_{13} \)

Формула суммы арифметической прогрессии:

\[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \]\[ S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n \]

Используем вторую формулу для нахождения \( a_{13} \), подставив известные значения:

\[ 260 = \frac{2 \cdot 2 + (13-1) \cdot 1}{2} \cdot 13 \]\[ 260 = \frac{4 + 12 \cdot 1}{2} \cdot 13 \]\[ 260 = \frac{4 + 12}{2} \cdot 13 \]\[ 260 = \frac{16}{2} \cdot 13 \]\[ 260 = 8 \cdot 13 \]\[ 260 = 104 \]

Полученное значение \( 104 \) не совпадает с общей суммой задач \( 260 \). Это означает, что условие задачи некорректно или требует другого подхода.

Давайте переформулируем задачу, считая, что разность прогрессии нам неизвестна, но известно, что она одинакова каждый день, и первый день решено 2 задачи, а всего за 13 дней — 260 задач. Пусть \( d \) — количество задач, на которое увеличивается решение каждый день.

Используем формулу суммы:

\[ S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n \]\[ 260 = \frac{2 \cdot 2 + (13-1)d}{2} \cdot 13 \]\[ 260 = \frac{4 + 12d}{2} \cdot 13 \]

Разделим обе части на 13:

\[ \frac{260}{13} = \frac{4 + 12d}{2} \]\[ 20 = \frac{4 + 12d}{2} \]

Умножим обе части на 2:

\[ 40 = 4 + 12d \]

Вычтем 4 из обеих частей:

\[ 36 = 12d \]

Найдём \( d \):

\[ d = \frac{36}{12} = 3 \]

Теперь, когда мы нашли разность прогрессии \( d = 3 \), мы можем найти количество задач, решенных в последний, 13-й день, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии:

\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]\[ a_{13} = 2 + (13-1) · 3 \]\[ a_{13} = 2 + 12 · 3 \]\[ a_{13} = 2 + 36 \]\[ a_{13} = 38 \]

Проверка:

Сумма первых 13 членов прогрессии с \( a_1 = 2 \) и \( a_{13} = 38 \) должна быть равна 260:

\[ S_{13} = \frac{a_1 + a_{13}}{2} · n = \frac{2 + 38}{2} · 13 = \frac{40}{2} · 13 = 20 · 13 = 260 \]

Сумма совпала, значит, расчеты верны.

Ответ: 38 задач.