14. Тип 14 № 1033 Решите неравенство √6х+7>8-x.

Привет! Давай разберем это неравенство вместе. Оно выглядит немного страшно из-за корня, но мы справимся!

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ):

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: \(6x + 7 \ge 0\). Отсюда \(6x \ge -7\), значит, \(x \ge -7/6\).
2. Правая часть неравенства \(8 - x\) может быть как положительной, так и отрицательной. Но так как корень квадратный всегда неотрицателен, то для выполнения неравенства \(\sqrt{6x+7} > 8-x\) необходимо, чтобы правая часть была меньше корня.

2. Решим неравенство методом возведения в квадрат.

Здесь есть два случая:

1. Случай 1: Правая часть меньше нуля.

Если \(8 - x < 0\), то \(x > 8\). В этом случае неравенство \(\sqrt{6x+7} > 8-x\) будет выполняться всегда, потому что корень (который \(\ge 0\)) будет больше отрицательного числа. Учитывая ОДЗ \(x \ge -7/6\), мы получаем, что решением этого случая является \(x > 8\).

2. Случай 2: Правая часть неотрицательна.

Если \(8 - x \ge 0\), то \(x \le 8\). В этом случае мы можем возвести обе части неравенства в квадрат:

\(\left(\sqrt{6x+7}\right)^2 > \left(8-x\right)^2\)

\(6x + 7 > 64 - 16x + x^2\)

Перенесем все в правую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

\(0 > x^2 - 16x - 6x + 64 - 7\)

\(x^2 - 22x + 57 < 0\)

Теперь найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 22x + 57 = 0\). Воспользуемся формулой дискриминанта:

\(D = b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 \times 1 \times 57 = 484 - 228 = 256\)

\(\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16\)

Найдем корни:

\(x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 - 16}{2 \times 1} = \frac{6}{2} = 3\)

\(x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 + 16}{2 \times 1} = \frac{38}{2} = 19\)

Парабола \(y = x^2 - 22x + 57\) ветвями вверх, поэтому неравенство \(x^2 - 22x + 57 < 0\) выполняется между корнями, то есть \(3 < x < 19\).

Но мы рассматривали этот случай при условии \(x \le 8\). Поэтому пересечением \(3 < x < 19\) и \(x \le 8\) будет \(3 < x \le 8\).

3. Объединим решения обоих случаев:

Решение первого случая: \(x > 8\)

Решение второго случая: \(3 < x \le 8\)

Объединяя эти два промежутка, получаем: \(x > 3\).

Не забываем про ОДЗ \(x \ge -7/6\). Наш промежуток \(x > 3\) полностью удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: (3; +∞)