14. Точка О является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке О, проходящей через вершину А, равен 2. Найдите площадь квадрата ABCD.

Решение:

1. Обозначим сторону квадрата ABCD как \( a \). Точка O — середина стороны CD. Следовательно, расстояние от O до D равно \( \frac{a}{2} \).

2. Радиус окружности с центром в точке O, проходящей через вершину A, равен 2. Это означает, что расстояние OA = 2.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADO. По теореме Пифагора:

\[ OA^2 = AD^2 + OD^2 \]

Подставим известные значения:

\[ 2^2 = a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]

\[ 4 = a^2 + \frac{a^2}{4} \]

\[ 4 = \frac{4a^2 + a^2}{4} \]

\[ 4 = \frac{5a^2}{4} \]

\[ 16 = 5a^2 \]

\[ a^2 = \frac{16}{5} \]

4. Площадь квадрата ABCD равна \( S = a^2 \).

Следовательно, площадь квадрата равна \( \frac{16}{5} \).

5. Переведем дробь в десятичный вид:

\[ \frac{16}{5} = 3.2 \]

Ответ: Площадь квадрата ABCD равна 3.2.