14. Точка О является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке О, проходящей через вершину А, равен 2. Найдите площадь квадрата ABCD.

Решение:

Пусть сторона квадрата ABCD равна \( a \).

Точка O — середина стороны CD. Координаты вершин квадрата можно принять:

• A = (0, a)
• B = (a, a)
• C = (a, 0)
• D = (0, 0)

Тогда координаты точки O (середины CD):

• O = (\( \frac{0+a}{2} \), \( \frac{0+0}{2} \)) = (\( \frac{a}{2} \), 0).

Радиус окружности с центром в O, проходящей через A, равен 2. Это означает, что расстояние от O до A равно 2.

• \( OA = 2 \)

Используем формулу расстояния между двумя точками:

• \( OA^2 = (x_A - x_O)^2 + (y_A - y_O)^2 \)
• \( 2^2 = (0 - \frac{a}{2})^2 + (a - 0)^2 \)
• \( 4 = (-\frac{a}{2})^2 + a^2 \)
• \( 4 = \frac{a^2}{4} + a^2 \)
• \( 4 = \frac{a^2 + 4a^2}{4} \)
• \( 4 = \frac{5a^2}{4} \)
• \( 16 = 5a^2 \)
• \( a^2 = \frac{16}{5} \)

Площадь квадрата ABCD равна \( a^2 \).

• \( S_{ABCD} = a^2 = \frac{16}{5} = 3.2 \)

Ответ: 3.2