14. В амфитеатре 18 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду 24 места, а в шестом ряду 33 места. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

Это задача на арифметическую прогрессию. Обозначим количество мест в ряду как \( a_n \).

1. Из условия известно, что \( a_3 = 24 \) и \( a_6 = 33 \).
2. Разница между \( a_6 \) и \( a_3 \) составляет \( 33 - 24 = 9 \) мест.
3. Это увеличение произошло за \( 6 - 3 = 3 \) ряда.
4. Значит, разность прогрессии \( d = \frac{9}{3} = 3 \) места.
5. Найдем количество мест в первом ряду \( a_1 \): \( a_3 = a_1 + 2d \implies 24 = a_1 + 2 \cdot 3 \implies a_1 = 24 - 6 = 18 \).
6. Найдем количество мест в последнем, 18-м ряду, по формуле \( a_n = a_1 + (n-1)d \): \( a_{18} = 18 + (18-1) \cdot 3 = 18 + 17 \cdot 3 = 18 + 51 = 69 \).

Ответ: 69 мест.