14. В амфитеатре 23 ряда, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В седьмом ряду 26 мест, а в одиннадцатом ряду 34 места. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

Это задача на арифметическую прогрессию, где \( a_n \) — число мест в \( n \)-м ряду.

Из условия известно:

• Количество рядов: \( n_{max} = 23 \)
• Число мест в 7-м ряду: \( a_7 = 26 \)
• Число мест в 11-м ряду: \( a_{11} = 34 \)

Формула \( n \)-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + d(n-1) \), где \( d \) — разность прогрессии (количество мест, добавляемое в каждом следующем ряду).

Используя известные данные, составим систему уравнений:

1. \( a_7 = a_1 + d(7-1) = a_1 + 6d = 26 \)
2. \( a_{11} = a_1 + d(11-1) = a_1 + 10d = 34 \)

Вычтем первое уравнение из второго:

\( (a_1 + 10d) - (a_1 + 6d) = 34 - 26 \)
\( 4d = 8 \)
\( d = 2 \)

Теперь найдём \( a_1 \), подставив \( d = 2 \) в первое уравнение:

\( a_1 + 6(2) = 26 \)
\( a_1 + 12 = 26 \)
\( a_1 = 14 \)

Теперь мы можем найти число мест в последнем, 23-м ряду:

\( a_{23} = a_1 + d(23-1) \)
\( a_{23} = 14 + 2(22) \)
\( a_{23} = 14 + 44 \)
\( a_{23} = 58 \)

Ответ: 58 мест