14. В амфитеатре 24 ряда, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 27 мест, а в седьмом ряду 31 место. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

Это задача на арифметическую прогрессию, так как количество мест в каждом следующем ряду увеличивается на одно и то же число (разность прогрессии).

Дано:

• Количество рядов: \( n = 24 \)
• В пятом ряду: \( a_5 = 27 \) мест
• В седьмом ряду: \( a_7 = 31 \) место

Найти:

• Количество мест в последнем ряду (24-м): \( a_{24} \)

Формула n-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + d(n-1) \), где \( a_1 \) — первый член, \( d \) — разность прогрессии.

Мы знаем \( a_5 \) и \( a_7 \). Разность между \( a_7 \) и \( a_5 \) равна удвоенной разности прогрессии, так как между 5-м и 7-м рядами два шага:

\[ a_7 - a_5 = (a_1 + 7d) - (a_1 + 5d) = 2d \]

\[ 31 - 27 = 2d \]

\[ 4 = 2d \]

\[ d = \frac{4}{2} = 2 \]

Разность прогрессии равна 2 места. Теперь найдем количество мест в первом ряду \( a_1 \), используя \( a_5 \):

\[ a_5 = a_1 + d(5-1) \]

\[ 27 = a_1 + 2(4) \]

\[ 27 = a_1 + 8 \]

\[ a_1 = 27 - 8 = 19 \]

В первом ряду 19 мест. Теперь найдем количество мест в 24-м ряду:

\[ a_{24} = a_1 + d(24-1) \]

\[ a_{24} = 19 + 2(23) \]

\[ a_{24} = 19 + 46 \]

\[ a_{24} = 65 \]

Ответ: 65