14. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечены точки M и N — середины AB и AD соответственно. а) Докажите, что B₁N и CM перпендикулярны. б) Найдите расстояние между этими прямыми, если B₁N = [числовые данные обрезаны].

Обозначим ребро куба через a и введём координаты: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A₁(0; 0; a). Тогда B₁(a; 0; a), C(a; a; 0), M(a/2; 0; 0), N(0; a/2; 0).

а) Направляющие векторы прямых B₁N и CM:

\(\overrightarrow{B₁N}=(-a; a/2; -a)\), \(\overrightarrow{CM}=(-a/2; -a; 0)\).

Их скалярное произведение равно \((-a)(-a/2)+(a/2)(-a)+(-a)\cdot0=0\). Следовательно, направляющие векторы перпендикулярны, поэтому \(B₁N\perp CM\).

б) Числовое значение B₁N на фотографии обрезано, поэтому численный ответ определить нельзя. Найдём расстояние через длину ребра куба. Для прямых с направляющими векторами u и v расстояние равно \(\frac{|(C-B₁)\cdot(u\times v)|}{|u\times v|}\). Подстановка координат даёт расстояние между B₁N и CM, равное \(a/\sqrt{5}\). При этом \(B₁N=3a/2\), значит расстояние также равно \(\frac{2B₁N}{3\sqrt{5}}\). Чтобы получить численный результат, нужно прислать обрезанное значение B₁N целиком.