№ 14. В первом ящике было в 7 раз больше апельсинов, чем во втором. Когда из первого ящика взяли 38 апельсинов, а из второго - 14, то во втором осталось на 78 апельсинов меньше, чем в первом. Сколько апельсинов было в каждом ящике вначале?

Решение:

Пусть \(x\) — количество апельсинов во втором ящике сначала.

Тогда в первом ящике сначала было \(7x\) апельсинов.

После того, как из первого ящика взяли 38 апельсинов, в нём осталось \(7x - 38\) апельсинов.

После того, как из второго ящика взяли 14 апельсинов, в нём осталось \(x - 14\) апельсинов.

По условию, во втором ящике осталось на 78 апельсинов меньше, чем в первом. Составим уравнение:

\[ (7x - 38) - (x - 14) = 78 \]

Решим уравнение:

1. Раскроем скобки: \(7x - 38 - x + 14 = 78\)
2. Приведём подобные слагаемые: \(6x - 24 = 78\)
3. Перенесём 24 в правую часть: \(6x = 78 + 24\)
4. Вычислим сумму: \(6x = 102\)
5. Найдем \(x\): \(x = \frac{102}{6}\)
6. Вычислим частное: \(x = 17\)

Итак, во втором ящике сначала было 17 апельсинов.

Теперь найдём, сколько апельсинов было в первом ящике сначала:

\[ 7x = 7 \cdot 17 = 119 \]

Проверим условие:

В первом ящике осталось: \(119 - 38 = 81\) апельсин.

Во втором ящике осталось: \(17 - 14 = 3\) апельсина.

Разница: \(81 - 3 = 78\) апельсина. Условие выполняется.

Ответ: В первом ящике сначала было 119 апельсинов, а во втором — 17 апельсинов.