14. В пирамиде ABCD ребра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB=BC=AC=6√2. а) Докажите, что эта пирамида правильная. б) На ребрах DA и DC отмечены точки М и N соответственно, причем DM:MA=DN:NC=1:2. Найдите расстояние от точки D до плоскости MNB.

Решение:

а) Доказательство того, что пирамида правильная:

1. Дано, что рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны. Это означает, что они являются высотами в гранях, исходящими из вершины D.
2. Так как AB=BC=AC=6√2, то основание пирамиды ABCD — равносторонний треугольник.
3. В правильной пирамиде основание является правильным многоугольником, а боковые рёбра равны.
4. У нас основание — равносторонний треугольник, что соответствует условию правильной пирамиды.
5. Из перпендикулярности рёбер DA, DB, DC следует, что точка D проецируется в центр описанной около основания окружности, если бы рёбра были равны. Однако, в условии дано, что DA, DB, DC перпендикулярны, что уже подразумевает, что D является вершиной прямоугольного треугольника, если рассматривать грани.
6. Для того чтобы пирамида была правильной, необходимо, чтобы боковые грани были равными равнобедренными треугольниками, и основание было правильным многоугольником.
7. В данном случае, основание ABC — правильный треугольник.
8. Рассмотрим грани: ΔDAB, ΔDBC, ΔDAC. Так как DA ⊥ DB, DA ⊥ DC, DB ⊥ DC, то мы имеем три прямоугольных треугольника.
9. По теореме Пифагора:
• $$AB^2 = DA^2 + DB^2$$
• $$BC^2 = DB^2 + DC^2$$
• $$AC^2 = DA^2 + DC^2$$
10. Из условия $$AB=BC=AC=6
    \sqrt{2}$$, имеем:
• $$(6
  \sqrt{2})^2 = DA^2 + DB^2
  \implies 72 = DA^2 + DB^2$$
• $$(6
  \sqrt{2})^2 = DB^2 + DC^2
  \implies 72 = DB^2 + DC^2$$
• $$(6
  \sqrt{2})^2 = DA^2 + DC^2
  \implies 72 = DA^2 + DC^2$$
11. Из этих равенств следует, что $$DA^2 = DB^2 = DC^2$$, а значит $$DA=DB=DC$$.
12. Так как основание ABC — равносторонний треугольник, а боковые рёбра DA, DB, DC равны, то пирамида ABCD является правильной.

б) Нахождение расстояния от точки D до плоскости MNB:

1. Пусть $$DA = DB = DC = a$$. Из пункта (а) мы знаем, что $$72 = a^2 + a^2 = 2a^2$$. Следовательно, $$a^2 = 36$$, и $$a = 6$$.
2. Таким образом, $$DA = DB = DC = 6$$.
3. Точки M и N находятся на ребрах DA и DC соответственно.
4. $$DM:MA = 1:2$$, значит $$DM =
   \frac{1}{1+2}
   \cdot DA =
   \frac{1}{3}
   \cdot 6 = 2$$.
5. $$DN:NC = 1:2$$, значит $$DN =
   \frac{1}{1+2}
   \cdot DC =
   \frac{1}{3}
   \cdot 6 = 2$$.
6. Для нахождения расстояния от точки D до плоскости MNB, найдем уравнение плоскости MNB.
7. Введем систему координат с началом в точке D. Оси DX, DY, DZ направим вдоль рёбер DA, DB, DC соответственно.
8. Тогда координаты вершин будут: $$D=(0,0,0)$$, $$A=(6,0,0)$$, $$B=(0,6,0)$$, $$C=(0,0,6)$$.
9. Координаты точек M и N:
• $$M$$ на DA, $$DM=2$$, $$MA=4$$. $$M = (
  \frac{2}{6}
  \cdot 6, 0, 0) = (2,0,0)$$.
• $$N$$ на DC, $$DN=2$$, $$NC=4$$. $$N = (0, 0,
  \frac{2}{6}
  \cdot 6) = (0,0,2)$$.
10. Точка $$B=(0,6,0)$$.
11. Для нахождения уравнения плоскости MNB, нам нужны два вектора, лежащих в этой плоскости. Возьмем векторы $$
    \vec{DB}$$ и $$
    \vec{DM}$$.
• $$
  \vec{DB} = (0, 6, 0)$$
• $$
  \vec{DM} = (2, 0, 0)$$
12. Вектор нормали к плоскости $$
    \vec{n}$$ перпендикулярен обоим векторам:
• $$
  \vec{n} =
  \vec{DB}
  \times
  \vec{DM} = \begin{vmatrix}
  \mathbf{i} &
  \mathbf{j} &
  \mathbf{k} \\ 0 & 6 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{vmatrix} =
  \mathbf{i}(0-0) -
  \mathbf{j}(0-0) +
  \mathbf{k}(0-12) = (0, 0, -12)$$.
• Можно взять более простой нормальный вектор, например $$
  \vec{n'} = (0, 0, 1)$$ (направление оси DC).
13. Уравнение плоскости MNB, проходящей через точку $$B=(0,6,0)$$ с нормальным вектором $$
    \vec{n'} = (0,0,1)$$:
• $$0(x-0) + 0(y-6) + 1(z-0) = 0$$
• $$z = 0$$.
14. Это неверно, так как точка M=(2,0,0), N=(0,0,2), B=(0,6,0). Точка M лежит на оси X, точка B на оси Y, точка N на оси Z.
15. Попробуем взять векторы $$
    \vec{MN}$$ и $$
    \vec{MB}$$.
• $$
  \vec{MN} = N - M = (0-2, 0-0, 2-0) = (-2, 0, 2)$$.
• $$
  \vec{MB} = B - M = (0-2, 6-0, 0-0) = (-2, 6, 0)$$.
16. Вектор нормали $$
    \vec{n} =
    \vec{MN}
    \times
    \vec{MB} = \begin{vmatrix}
    \mathbf{i} &
    \mathbf{j} &
    \mathbf{k} \\ -2 & 0 & 2 \\ -2 & 6 & 0 \end{vmatrix} =
    \mathbf{i}(0-12) -
    \mathbf{j}(0-(-4)) +
    \mathbf{k}(-12-0) = (-12, -4, -12)$$.
17. Можно взять нормальный вектор $$
    \vec{n'} = (3, 1, 3)$$.
18. Уравнение плоскости, проходящей через точку $$M=(2,0,0)$$ с нормальным вектором $$
    \vec{n'} = (3, 1, 3)$$:
• $$3(x-2) + 1(y-0) + 3(z-0) = 0$$
• $$3x - 6 + y + 3z = 0$$
• $$3x + y + 3z - 6 = 0$$.
19. Проверим, лежит ли точка B=(0,6,0) в этой плоскости: $$3(0) + 6 + 3(0) - 6 = 6 - 6 = 0$$. Да, лежит.
20. Проверим, лежит ли точка N=(0,0,2) в этой плоскости: $$3(0) + 0 + 3(2) - 6 = 6 - 6 = 0$$. Да, лежит.
21. Итак, уравнение плоскости MNB: $$3x + y + 3z - 6 = 0$$.
22. Расстояние от точки $$D=(0,0,0)$$ до плоскости $$Ax+By+Cz+D=0$$ вычисляется по формуле:
• $$d =
  \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$
23. В нашем случае $$A=3$$, $$B=1$$, $$C=3$$, $$D=-6$$, $$x_0=0$$, $$y_0=0$$, $$z_0=0$$.
24. $$d =
    \frac{|3(0)+1(0)+3(0)-6|}{\sqrt{3^2+1^2+3^2}} =
    \frac{|-6|}{\sqrt{9+1+9}} =
    \frac{6}{\sqrt{19}}$$.
25. Рационализируем знаменатель:
• $$d =
  \frac{6
  \sqrt{19}}{19}$$.

Ответ: а) Пирамида правильная, так как основание — равносторонний треугольник, а боковые рёбра равны. б) $$
\frac{6
\sqrt{19}}{19}$$.