14. В пирамиде SABC рёбра SA, SB и SC попарно перпендикулярны. AB = BC = AC = 7√2. а) Докажите, что ребро SA перпендикулярно плоскости CSB. б) На рёбрах SA и SC взяты точки K и L соответственно, причём SK:KA = SL:LC = 2:5. Найдите площадь сечения BKL.

а) По условию SA ⟂ SB и SA ⟂ SC. Прямые SB и SC пересекаются и лежат в плоскости CSB, поэтому SA ⟂ плоскости CSB.

б) Пусть SA = a, SB = b, SC = c. Из попарной перпендикулярности:

AB² = a² + b² = 98, BC² = b² + c² = 98, AC² = a² + c² = 98.

Вычитая эти равенства попарно, получаем a = b = c. Тогда 2a² = 98, откуда SA = SB = SC = 7.

Из отношения SK:KA = 2:5 следует SK = 2, а из SL:LC = 2:5 следует SL = 2.

Введём координаты вдоль взаимно перпендикулярных рёбер: S = (0, 0, 0), A = (7, 0, 0), B = (0, 7, 0), C = (0, 0, 7). Тогда K = (2, 0, 0), L = (0, 0, 2).

Площадь треугольника BKL равна половине модуля векторного произведения BK и BL:

BK = (2, −7, 0), BL = (0, −7, 2).

|BK × BL| = √(14² + 4² + 14²) = √408 = 2√102.

Следовательно, S_BKL = ½ · 2√102 = √102.

Ответ: а) SA ⟂ плоскости CSB; б) √102.