14. В прямоугольном параллелепипеде ABCD A₁B₁C₁D₁ рёбра AB, BC и диагональ боковой грани BC₁ равны соответственно 7, 3 и 3√5. Найдите объём параллелепипеда ABCD A₁B₁C₁D₁.

Решение:

Дан прямоугольный параллелепипед ABCD A₁B₁C₁D₁.

Известны длины рёбер: \( AB = 7 \) и \( BC = 3 \).

Также известна длина диагонали боковой грани BC₁ = \( 3\sqrt{5} \).

Боковая грань, в которой находится диагональ BC₁, — это грань BB₁C₁C. Эта грань является прямоугольником.

В прямоугольнике BB₁C₁C диагональю является BC₁. Длины сторон этого прямоугольника — \( BC \) и \( BB₁ \).

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника BB₁C:

\( BC^2 + BB₁^2 = BC₁^2 \)

Подставим известные значения:

\( 3^2 + BB₁^2 = (3\sqrt{5})^2 \)

\( 9 + BB₁^2 = 9 \cdot 5 \)

\( 9 + BB₁^2 = 45 \)

\( BB₁^2 = 45 - 9 \)

\( BB₁^2 = 36 \)

\( BB₁ = \sqrt{36} = 6 \).

Итак, мы нашли длину высоты параллелепипеда \( BB₁ = 6 \).

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: \( V = \text{длина} \cdot \text{ширина} \cdot \text{высота} \).

В нашем случае, \( V = AB \cdot BC \cdot BB₁ \).

\( V = 7 \cdot 3 \cdot 6 \)

\( V = 21 \cdot 6 \)

\( V = 126 \).

Ответ: 126.