14. В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — два штрафных очка, за каждый последующий промах — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 15 штрафных очков?

Решение:

Обозначим количество промахов как \( n \).

Стоимость первого промаха: 2 очка.

Стоимость второго промаха: \( 2 + 0.5 = 2.5 \) очка.

Стоимость третьего промаха: \( 2.5 + 0.5 = 3 \) очка.

И так далее. Стоимость \( k \)-го промаха составляет \( 2 + (k-1) \cdot 0.5 \) очка.

Общее количество штрафных очков — это сумма стоимости каждого промаха. Формула для суммы арифметической прогрессии: \( S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) \), где \( a_1 \) — первый член (стоимость первого промаха), \( d \) — разность (увеличение стоимости каждого следующего промаха), \( n \) — количество членов (количество промахов).

В данном случае \( a_1 = 2 \) и \( d = 0.5 \).

Общая сумма штрафных очков равна 15. Следовательно:

\[ 15 = \frac{n}{2}(2 \cdot 2 + (n-1)0.5) \]\[ 15 = \frac{n}{2}(4 + 0.5n - 0.5) \]\[ 15 = \frac{n}{2}(3.5 + 0.5n) \]\[ 30 = n(3.5 + 0.5n) \]\[ 30 = 3.5n + 0.5n^2 \]\[ 0.5n^2 + 3.5n - 30 = 0 \]\[ n^2 + 7n - 60 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{289} = 17 \).

\( n_1 = \frac{-7 + 17}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5 \).

\( n_2 = \frac{-7 - 17}{2 \cdot 1} = \frac{-24}{2} = -12 \).

Количество промахов не может быть отрицательным, поэтому \( n = 5 \).

Стрелок получил 15 штрафных очков за 5 промахов.

Всего в серии было 25 выстрелов. Количество попаданий в цель равно общему количеству выстрелов минус количество промахов.

\[ \text{Попаданий} = 25 - 5 = 20 \]

Ответ: 20.