14. В треугольнике АВС АС = BC = 27, АН — высота, sin BAC = 2/3. Найдите ВН.

Решение:

В равнобедренном треугольнике ABC (AC = BC) высота AH проведена к основанию AB.

По условию, \( \sin \angle BAC = \frac{2}{3} \). В прямоугольном треугольнике ABH (угол AHB = 90 градусов), \( \sin \angle BAH = \frac{BH}{AB} \).

Однако, в условии задачи сказано, что AH - высота, а рисунок показывает, что AH - высота к стороне BC, а BH - высота к стороне AC. Если AH - высота, то \( \angle AHB = 90^{\circ} \). В условии также дано \( \sin \angle BAC \). Это наводит на мысль, что \( \angle BAC \) относится к прямоугольному треугольнику ABH, что неверно, так как \( \angle BAC \) - это угол треугольника ABC, а H - точка на BC. Если AH - высота к BC, то \( \angle AHC = 90^{\circ} \).

Переосмыслим условие: AH - высота, значит \( \angle AHC = 90^{\circ} \). AC = 27. \( \sin \angle BAC = 2/3 \). Найти BH. BH - высота к AC, значит \( \angle BHC = 90^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике AHC: \( \sin \angle HAC = \frac{HC}{AC} \) и \( \cos \angle HAC = \frac{AH}{AC} \).

В прямоугольном треугольнике ABC, если AH - высота к BC, то \( \sin \angle BAC = \frac{BC}{AC} \). Но AC = BC. Это возможно только если \( \angle BAC = 90^{\circ} \), что противоречит \( \sin \angle BAC = 2/3 \).

Давайте предположим, что AH - высота к стороне BC, а BH - высота к стороне AC. И AC = BC = 27.

В прямоугольном треугольнике AHC (где \( \angle AHC = 90^{\circ} \) ): \( AH = AC \cdot \sin \angle C = 27 \sin \angle C \) и \( HC = AC \cdot \cos \angle C = 27 \cos \angle C \).

В прямоугольном треугольнике BHC (где \( \angle BHC = 90^{\circ} \) ): \( BH = BC \cdot \sin \angle C = 27 \sin \angle C \) и \( HC = BC \cdot \cos \angle C = 27 \cos \angle C \).

Из этого следует, что AH = BH. Также, \( \sin \angle BAC = 2/3 \).

Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами:

1. \( S = \frac{1}{2} AC \cdot BH = \frac{1}{2} × 27 × BH \)

2. \( S = \frac{1}{2} AB \cdot AH \)

3. \( S = \frac{1}{2} AC × BC × \sin \angle C = \frac{1}{2} × 27 × 27 × \sin \angle C \)

4. \( S = \frac{1}{2} AC × AB × \sin \angle BAC = \frac{1}{2} × 27 × AB × \frac{2}{3} \)

Из \( \sin \angle BAC = 2/3 \) в прямоугольном треугольнике, проведённом из точки B к AC (где BH - высота), \( \sin \angle BAC = \frac{BH}{AB} \) - это неверно.

В треугольнике ABC, \( \sin \angle BAC = 2/3 \). AC = BC = 27.

Найдем \( \cos \angle BAC \): \( \cos^2 \angle BAC = 1 - \sin^2 \angle BAC = 1 - (2/3)^2 = 1 - 4/9 = 5/9 \). \( \cos \angle BAC = \sqrt{5}/3 \).

По теореме косинусов для стороны BC:

\( BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \u00D7 AB \u00D7 AC \u00D7 \cos \angle BAC \)

\( 27^2 = AB^2 + 27^2 - 2 \u00D7 AB \u00D7 27 × \frac{\sqrt{5}}{3} \)

\( 0 = AB^2 - 18 \u00D7 AB \u00D7 \sqrt{5} \)

\( AB(AB - 18 \u00D7 \sqrt{5}) = 0 \). Так как AB не может быть 0, то \( AB = 18 \sqrt{5} \).

Теперь найдем высоту BH. В прямоугольном треугольнике ABH (где AH - высота к BC, а BH - высота к AC, \( \angle BHC = 90^{\circ} \) ):

\( BH = BC × \sin \angle C \). Чтобы найти \( \sin \angle C \), используем теорему синусов:

\( \frac{AC}{\sin \angle ABC} = \frac{BC}{\sin \angle BAC} = \frac{AB}{\sin \angle C} \)

\( \frac{27}{\sin \angle ABC} = \frac{27}{\sin (2/3)} = \frac{18 \sqrt{5}}{\sin \angle C} \)

Заметим, что \( \angle ABC = \angle BAC \) из-за AC=BC. Это ошибка, AC = BC означает, что углы при основании AB равны, т.е. \( \angle ABC = \angle BAC \).

Если AC = BC, то \( \angle ABC = \angle BAC \). Тогда \( \sin \angle ABC = \sin \angle BAC = 2/3 \).

Найдем \( \sin \angle C \):

\( \sin \angle C = \frac{AB \sin \angle BAC}{BC} = \frac{18 \sqrt{5} × (2/3)}{27} = \frac{12 \sqrt{5}}{27} = \frac{4 \sqrt{5}}{9} \).

Теперь найдем BH:

\( BH = AC × \sin \angle BAC \) (Это если BH - высота к AC, а \( \angle BAC \) - угол между AC и AB). Это неверно.

BH - высота к AC. В прямоугольном \( \triangle BHC \) \( \angle BHC = 90^{\circ} \). \( BH = BC \cdot \sin \angle C = 27 × \frac{4 \sqrt{5}}{9} = 3 × 4 × \sqrt{5} = 12 \sqrt{5} \).

Проверим, если AH - высота к BC. \( AH = AC × \sin \angle C = 27 × \frac{4 × \sqrt{5}}{9} = 12 \sqrt{5} \). AH = BH. Это согласуется с тем, что треугольник равнобедренный.

Ответ: BH = \( 12 \sqrt{5} \).