14. Выполните действия и определите, рациональным числом является значение выражения:

Решение:

Для определения, какое из выражений является рациональным числом, необходимо вычислить их значения.

а) \( 7\sqrt{200} - \sqrt{50} \)

1. Упростим корни: \( \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2} \), \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \).
2. Подставим упрощенные корни в выражение: \( 7 \cdot 10\sqrt{2} - 5\sqrt{2} = 70\sqrt{2} - 5\sqrt{2} = 65\sqrt{2} \).
3. Результат \( 65\sqrt{2} \) является иррациональным числом, так как \( \sqrt{2} \) — иррациональное число.

б) \( (2\sqrt{3} - \sqrt{27}) : 3 \)

1. Упростим корень: \( \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3} \).
2. Подставим упрощенный корень в выражение: \( (2\sqrt{3} - 3\sqrt{3}) : 3 = (-\sqrt{3}) : 3 = -\frac{\sqrt{3}}{3} \).
3. Результат \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \) является иррациональным числом.

в) \( (\sqrt{6} - 2)(\sqrt{2} + 6) \)

1. Раскроем скобки: \( \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{6} \cdot 6 - 2 \cdot \sqrt{2} - 2 \cdot 6 \)
2. Упростим: \( \sqrt{12} + 6\sqrt{6} - 2\sqrt{2} - 12 \)
3. Упростим \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \).
4. Получим: \( 2\sqrt{3} + 6\sqrt{6} - 2\sqrt{2} - 12 \).
5. Данное выражение является иррациональным.

г) \( (\sqrt{3} - 1)^2 + \sqrt{12} \)

1. Раскроем квадрат разности: \( (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 \) = \( 3 - 2\sqrt{3} + 1 \) = \( 4 - 2\sqrt{3} \).
2. Упростим \( \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \).
3. Подставим в исходное выражение: \( (4 - 2\sqrt{3}) + 2\sqrt{3} = 4 - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4 \).
4. Результат \( 4 \) является рациональным числом.

Ответ: рациональным числом является значение выражения г).