14. Высота цилиндра равна 4 м, расстояние между осью цилиндра и параллельной ей плоскостью сечения равно 5 м, а площадь сечения 32 м². Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение:

Пусть \( h \) — высота цилиндра, \( R \) — радиус основания цилиндра, \( S \) — площадь боковой поверхности цилиндра.

По условию:

• \( h = 4 \) м.
• Расстояние от оси до плоскости сечения равно \( d = 5 \) м.
• Площадь сечения \( A = 32 \) м².

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, является прямоугольником. Площадь этого прямоугольника равна произведению высоты цилиндра на хорду основания, соответствующую данному сечению.

Пусть \( 2a \) — длина хорды основания. Тогда площадь сечения:

\[ A = h \cdot 2a \]

Подставим известные значения:

\[ 32 = 4 \cdot 2a \]

\[ 32 = 8a \]

\[ a = \frac{32}{8} = 4 \] м.

Длина хорды равна \( 2a = 2 \cdot 4 = 8 \) м.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом основания \( R \), расстоянием от оси до хорды \( d \) и половиной хорды \( a \). По теореме Пифагора:

\[ R^2 = d^2 + a^2 \]

Подставим значения \( d = 5 \) м и \( a = 4 \) м:

\[ R^2 = 5^2 + 4^2 \]

\[ R^2 = 25 + 16 \]

\[ R^2 = 41 \]

\[ R = \sqrt{41} \] м.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:

\[ S = 2 \pi R h \]

Подставим значения \( R = \sqrt{41} \) м и \( h = 4 \) м:

\[ S = 2 \pi \cdot \sqrt{41} \cdot 4 \]

\[ S = 8 \pi \sqrt{41} \] м².

Ответ: площадь боковой поверхности цилиндра равна \( 8 \pi \sqrt{41} \) м².