№ 140. Дано: AM = CM, A₁M₁ = C₁M₁, BM = B₁M₁, AB = A₁B₁, AC = A₁C₁. Доказать: ΔABC = ΔA₁B₁C₁.

Так как точки M и M₁ — середины отрезков AC и A₁C₁ соответственно, то из равенств AM = CM и A₁M₁ = C₁M₁ получаем:

\[AC=2AM,\qquad A_1C_1=2A_1M_1.\]

По условию \(BM=B_1M_1\) и \(AM=A_1M_1\). Следовательно, в треугольниках \(ABM\) и \(A_1B_1M_1\):

\[AB=A_1B_1,\quad BM=B_1M_1,\quad AM=A_1M_1.\]

Значит, \(\triangle ABM=\triangle A_1B_1M_1\) по третьему признаку равенства треугольников. Поэтому \(\angle A=\angle A_1\).

Кроме того, из равенства \(AM=A_1M_1\) следует:

\[AC=2AM=2A_1M_1=A_1C_1.\]

Итак, в треугольниках \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) равны две стороны и угол между ними:

\[AB=A_1B_1,\quad AC=A_1C_1,\quad \angle A=\angle A_1.\]

Следовательно, \(\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1\) по первому признаку равенства треугольников.

Ответ: \(\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1\).