141. При каких $n\in\mathbb{N}$ верно предложение: а) $19-n$ — натуральное число, кратное 3; б) $9n+1$ — число, кратное 11; в) $(n-1)(n+3)$ — простое число; г) $n+7<17$; д) $15-n>9$; е) $n(n+1)(n+2)=120$; ж) $\frac{n}{n+7}<\frac79$; з) $\frac38=\frac12(n-4)$?

Question

Вопрос: $Фото задания: 141. При каких $n\in\mathbb{N}$ верно предложение: а) $19-n$ — натуральное число, кратное 3; б) $9n+1$ — число, кратное…$ Фото задания

141. При каких $n\in\mathbb{N}$ верно предложение: а) $19-n$ — натуральное число, кратное 3; б) $9n+1$ — число, кратное 11; в) $(n-1)(n+3)$ — простое число; г) $n+7<17$; д) $15-n>9$; е) $n(n+1)(n+2)=120$; ж) $\frac{n}{n+7}<\frac79$; з) $\frac38=\frac12(n-4)$?

Accepted Answer

а) Чтобы $19-n$ было положительным и кратным 3, при натуральном $n$ получаем значения $16,13,10,7,4,1$. Следовательно, $n=3,6,9,12,15,18$.
б) Требуется $9n+1\equiv0\pmod{11}$, то есть $9n\equiv10\pmod{11}$. Так как $9^{-1}\equiv5\pmod{11}$, то $n\equiv6\pmod{11}$. Значит, $n=11k+6$, где $k$ — целое неотрицательное число.
в) Если $n=1$ или $n=2$, произведение равно нулю или пяти соответственно; при $n=2$ получаем $5$, простое. При $n\ge3$ оба множителя больше 1, поэтому произведение составное. Ответ: $n=2$.
г) $n<10$, поэтому $n=1,2,3,4,5,6,7,8,9$.
д) $n<6$, поэтому $n=1,2,3,4,5$.
е) Проверяем произведение трёх последовательных натуральных чисел: $4\cdot5\cdot6=120$. Ответ: $n=4$.
ж) При натуральном $n$ знаменатели положительны: $9n<7(n+7)$, откуда $2n<49$. Следовательно, $n=1,2,\ldots,24$.
з) Умножаем обе части на 2: $\frac34=n-4$, поэтому $n=\frac{19}{4}$, что не является натуральным числом. Решений нет.

Ответ: