1418. Постройте четырёхугольник ABCD по координатам его вершин (−8; 6), B(6; 5), C(1; −3), D(-7; 1). Найдите координаты точки пересечения отрезков АС и BD.

Решение:

Для решения этой задачи нам нужно найти уравнения прямых, проходящих через точки A и C, а также через точки B и D. Точка пересечения этих прямых и будет искомой точкой.

1. Уравнение прямой AC:

   Точки: A(-8; 6), C(1; -3).

   Найдем угловой коэффициент $$k_{AC}$$:

   \[ k_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{-3 - 6}{1 - (-8)} = \frac{-9}{9} = -1 \]

   Уравнение прямой имеет вид $$y - y_A = k_{AC}(x - x_A)$$:

   \[ y - 6 = -1(x - (-8)) \]

   \[ y - 6 = -1(x + 8) \]

   \[ y - 6 = -x - 8 \]

   \[ y = -x - 2 \]

2. Уравнение прямой BD:

   Точки: B(6; 5), D(-7; 1).

   Найдем угловой коэффициент $$k_{BD}$$:

   \[ k_{BD} = \frac{y_D - y_B}{x_D - x_B} = \frac{1 - 5}{-7 - 6} = \frac{-4}{-13} = \frac{4}{13} \]

   Уравнение прямой имеет вид $$y - y_B = k_{BD}(x - x_B)$$:

   \[ y - 5 = \frac{4}{13}(x - 6) \]

   \[ 13(y - 5) = 4(x - 6) \]

   \[ 13y - 65 = 4x - 24 \]

   \[ 13y = 4x + 41 \]

   \[ y = \frac{4}{13}x + \frac{41}{13} \]

3. Нахождение точки пересечения:

   Приравняем уравнения прямых AC и BD:

   \[ -x - 2 = \frac{4}{13}x + \frac{41}{13} \]

   Умножим обе части на 13, чтобы избавиться от дробей:

   \[ 13(-x - 2) = 13(\frac{4}{13}x + \frac{41}{13}) \]

   \[ -13x - 26 = 4x + 41 \]

   Соберем члены с x в одной стороне, а числа в другой:

   \[ -26 - 41 = 4x + 13x \]

   \[ -67 = 17x \]

   \[ x = -\frac{67}{17} \]

   Теперь найдем y, подставив значение x в уравнение прямой AC:

   \[ y = -(-\frac{67}{17}) - 2 \]

   \[ y = \frac{67}{17} - 2 \]

   \[ y = \frac{67}{17} - \frac{34}{17} \]

   \[ y = \frac{33}{17} \]

Ответ: Координаты точки пересечения отрезков AC и BD равны $$\left(-\frac{67}{17}; \frac{33}{17}\right)$$.