142. Решить уравнение: 1) $\frac{x}{x+1}+\frac{2x}{x-1}=\frac{4x}{x^2-1}$; 2) $\frac{x-1}{x-2}-\frac{2}{x}=\frac{1}{x-2}$; 3) $(x-3)(x-5)=3(x-5)$; 4) $(x-2)(x^2+1)=2(x^2+1)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 142. Решить уравнение: 1) $\frac{x}{x+1}+\frac{2x}{x-1}=\frac{4x}{x^2-1}$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

1) Область допустимых значений: $x\ne -1$, $x\ne 1$.

Умножим уравнение на $x^2-1$:

\[x(x-1)+2x(x+1)=4x.\]

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

\[x^2-x+2x^2+2x=4x,\]

\[3x^2-3x=0,\]

\[3x(x-1)=0.\]

Отсюда $x=0$ или $x=1$. Значение $x=1$ не входит в ОДЗ.

Ответ: $x=0$.

2) Область допустимых значений: $x\ne 0$, $x\ne 2$.

Умножим уравнение на $x(x-2)$:

\[x(x-1)-2(x-2)=x.\]

\[x^2-x-2x+4=x,\]

\[x^2-4x+4=0,\]

\[(x-2)^2=0.\]

Получаем $x=2$, но это значение запрещено ОДЗ.

Ответ: решений нет.

3) Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель:

\[(x-3)(x-5)-3(x-5)=0,\]

\[(x-5)(x-3-3)=0,\]

\[(x-5)(x-6)=0.\]

Отсюда $x=5$ или $x=6$.

Ответ: $x=5;\ 6$.

4) Перенесём всё в левую часть:

\[(x-2)(x^2+1)-2(x^2+1)=0.\]

Вынесем общий множитель:

\[(x^2+1)(x-4)=0.\]

Так как для действительных чисел $x^2+1\ne 0$, получаем:

\[x-4=0,\qquad x=4.\]

Ответ: $x=4$.

142. Решить уравнение: 1) \(\frac{x}{x+1}+\frac{2x}{x-1}=\frac{4x}{x^2-1}\); 2) \(\frac{x-1}{x-2}-\frac{2}{x}=\frac{1}{x-2}\); 3) \((x-3)(x-5)=3(x-5)\); 4) \((x-2)(x^2+1)=2(x^2+1)\).