143. Решить неравенство: 1) $\frac{x+3}{2+x^2}<3$; 2) $\frac{x-2}{5-x}>1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 143. Решить неравенство: 1) $\frac{x+3}{2+x^2}<3$; 2) $\frac{x-2}{5-x}>1$.$ Фото задания

Accepted Answer

1) Область определения: знаменатель $x^2+2$ положителен при любом действительном $x$. Поэтому можно умножить неравенство на него, не меняя знак:

$\frac{x+3}{x^2+2}<3\iff x+3<3x^2+6\iff 3x^2-x+3>0.$

Дискриминант квадратного трёхчлена равен $D=(-1)^2-4\cdot3\cdot3=-35<0$. При положительном старшем коэффициенте трёхчлен всегда положителен.

Ответ: $x\in\mathbb R$.

2) Область определения: $x\ne5$. Перенесём выражение в левую часть и приведём к общей дроби:

$\frac{x-2}{5-x}-1=\frac{x-2-(5-x)}{5-x}=\frac{2x-7}{5-x}>0.$

Критические точки: $x=\frac72$ (нулю равен числитель) и $x=5$ (знаменатель равен нулю). Дробь положительна на интервале $\left(\frac72,5\right)$.

Ответ: $x\in\left(\frac72,5\right)$.

143. Решить неравенство: 1) \(\frac{x+3}{2+x^2}<3\); 2) \(\frac{x-2}{5-x}>1\).