144. На рисунке 82 AB = CD, AD = BC, BE — биссектриса угла ABC, а DF — биссектриса угла ADC. Докажите, что: а) ∠ABE = ∠ADF; б) △ABE = △CDF.

Так как в четырёхугольнике ABCD противоположные стороны попарно равны: \(AB=CD\) и \(AD=BC\), то ABCD — параллелограмм.

Следовательно, \(AB\parallel CD\), а противоположные углы равны: \(\angle ABC=\angle ADC\).

1. BE и DF — биссектрисы соответствующих углов, поэтому
   \(\angle ABE=\frac12\angle ABC\),
   \(\angle ADF=\frac12\angle ADC\).
   Так как \(\angle ABC=\angle ADC\), то \(\angle ABE=\angle ADF\).
2. Поскольку \(AB\parallel CD\), а точки A, E, C лежат на одной прямой, то \(\angle BAE=\angle DCF\).

Итак, в треугольниках ABE и CDF:

• \(AB=CD\) — по условию;
• \(\angle ABE=\angle CDF\) — обе являются половинами равных углов параллелограмма;
• \(\angle BAE=\angle DCF\) — при параллельных прямых \(AB\parallel CD\).

Следовательно, \(\triangle ABE=\triangle CDF\) по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Ответ: а) \(\angle ABE=\angle ADF\); б) \(\triangle ABE=\triangle CDF\).