145. Найдите наименьшее целое х, удовлетворяющее неравенству:

Решение:

В данном задании представлено несколько неравенств. Необходимо решить каждое из них и найти наименьшее целое значение x, которое удовлетворяет всем решенным неравенствам.

а) \( \frac{1-x}{2} + 3 < 3x - \frac{2x+1}{4} \)

1. Приведём неравенство к общему знаменателю 4:

\( 2(1-x) + 12 < 12x - (2x+1) \)

2. Раскроем скобки:

\( 2 - 2x + 12 < 12x - 2x - 1 \)

3. Приведём подобные слагаемые:

\( 14 - 2x < 10x - 1 \)

4. Перенесём члены с x в правую часть, а числа — в левую:

\( 14 + 1 < 10x + 2x \)

5. Упростим:

\( 15 < 12x \)

6. Разделим на 12:

\( x > \frac{15}{12} \) или \( x > \frac{5}{4} \) или \( x > 1.25 \)

б) \( \frac{3-2x}{3} - 1 > \frac{3-2x}{6} - x \)

1. Приведём неравенство к общему знаменателю 6:

\( 2(3-2x) - 6 > (3-2x) - 6x \)

2. Раскроем скобки:

\( 6 - 4x - 6 > 3 - 2x - 6x \)

3. Приведём подобные слагаемые:

\( -4x > 3 - 8x \)

4. Перенесём члены с x в левую часть, а числа — в правую:

\( -4x + 8x > 3 \)

5. Упростим:

\( 4x > 3 \)

6. Разделим на 4:

\( x > \frac{3}{4} \) или \( x > 0.75 \)

в) \( (3x - 5)(2x - 5) - (2x - 3)(x - 3) + 6x > (2x - 5)^2 + 6 \)

1. Раскроем скобки:

\( (6x^2 - 15x - 10x + 25) - (2x^2 - 6x - 3x + 9) + 6x > (4x^2 - 20x + 25) + 6 \)

2. Упростим первое слагаемое:

\( 6x^2 - 25x + 25 \)

3. Упростим второе слагаемое:

\( 2x^2 - 9x + 9 \)

4. Раскроем скобку со вторым слагаемым, меняя знаки:

\( 6x^2 - 25x + 25 - 2x^2 + 9x - 9 + 6x > 4x^2 - 20x + 25 + 6 \)

5. Приведём подобные слагаемые в левой части:

\( (6x^2 - 2x^2) + (-25x + 9x + 6x) + (25 - 9) > 4x^2 - 20x + 31 \)

\( 4x^2 - 10x + 16 > 4x^2 - 20x + 31 \)

6. Перенесём члены с x в левую часть, а числа — в правую:

\( 4x^2 - 4x^2 - 10x + 20x > 31 - 16 \)

7. Упростим:

\( 10x > 15 \)

8. Разделим на 10:

\( x > \frac{15}{10} \) или \( x > \frac{3}{2} \) или \( x > 1.5 \)

г) \( \frac{(3x-7)(3x-2)}{3} - \frac{(8x-19)(x+1)}{4} < \frac{(6x-7)(2x-5)}{12} \)

1. Приведём неравенство к общему знаменателю 12:

\( 4(3x-7)(3x-2) - 3(8x-19)(x+1) < (6x-7)(2x-5) \)

2. Раскроем первые скобки:

\( 4(9x^2 - 6x - 21x + 14) - 3(8x^2 + 8x - 19x - 19) < (12x^2 - 30x - 14x + 35) \)

3. Упростим выражения в скобках:

\( 4(9x^2 - 27x + 14) - 3(8x^2 - 11x - 19) < 12x^2 - 44x + 35 \)

4. Раскроем внешние скобки:

\( 36x^2 - 108x + 56 - 24x^2 + 33x + 57 < 12x^2 - 44x + 35 \)

5. Приведём подобные слагаемые в левой части:

\( (36x^2 - 24x^2) + (-108x + 33x) + (56 + 57) < 12x^2 - 44x + 35 \)

\( 12x^2 - 75x + 113 < 12x^2 - 44x + 35 \)

6. Перенесём члены с x в левую часть, а числа — в правую:

\( 12x^2 - 12x^2 - 75x + 44x < 35 - 113 \)

7. Упростим:

\( -31x < -78 \)

8. Разделим на -31, меняя знак неравенства на противоположный:

\( x > \frac{-78}{-31} \) или \( x > \frac{78}{31} \)

\( \frac{78}{31} \approx 2.516 \)

Объединяем все полученные неравенства:

\( x > 1.25 \)

\( x > 0.75 \)

\( x > 1.5 \)

\( x > 2.516 \)

Наименьшее целое значение x, которое удовлетворяет всем этим условиям, должно быть больше 2.516. Наименьшее целое число, которое больше 2.516, это 3.

Ответ: 3