145. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ медианы BM и B₁M₁ равны, AB = A₁B₁, AC = A₁C₁. Докажите, что △ABC = △A₁B₁C₁.

Обозначим длины соответствующих отрезков:

\(AB=A_1B_1=a\), \(AC=A_1C_1=b\), \(BM=B_1M_1=m\).

Так как BM и \(B_1M_1\) — медианы, то \(AM=\frac{AC}{2}\), а \(A_1M_1=\frac{A_1C_1}{2}\).

По теореме Аполлония для треугольника ABC:

\[AB^2+BC^2=2\left(BM^2+AM^2\right).\]

Отсюда:

\[BC^2=2BM^2+2\left(\frac{AC}{2}\right)^2-AB^2=2BM^2+\frac{AC^2}{2}-AB^2.\]

Для треугольника \(A_1B_1C_1\) аналогично:

\[B_1C_1^2=2B_1M_1^2+\frac{A_1C_1^2}{2}-A_1B_1^2.\]

Подставляя равенства \(BM=B_1M_1\), \(AB=A_1B_1\), \(AC=A_1C_1\), получаем:

\[BC^2=B_1C_1^2.\]

Так как длины сторон положительны, то \(BC=B_1C_1\).

Таким образом, \(AB=A_1B_1\), \(AC=A_1C_1\), \(BC=B_1C_1\). Следовательно, треугольники равны по трём сторонам.

Ответ: \(\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1\) по третьему признаку равенства треугольников.