146. Найдите все двузначные числа $\overline{ab}$ или $\overline{ab}_{(n)}$, если известно, что: а) $\overline{ab}-\overline{ba}=36$; б) $\overline{ab}+\overline{ba}=22$; в) $\overline{ab}_{(3)}+\overline{ba}_{(3)}=12$; г) $\overline{ab}_{(3)}-\overline{ba}_{(3)}=2$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 146. Найдите все двузначные числа $\overline{ab}$ или $\overline{ab}_{(n)}$, если известно, что: а)…$ Фото задания

146. Найдите все двузначные числа $\overline{ab}$ или $\overline{ab}_{(n)}$, если известно, что: а) $\overline{ab}-\overline{ba}=36$; б) $\overline{ab}+\overline{ba}=22$; в) $\overline{ab}_{(3)}+\overline{ba}_{(3)}=12$; г) $\overline{ab}_{(3)}-\overline{ba}_{(3)}=2$.

Accepted Answer

В десятичной системе $\overline{ab}=10a+b$, где цифра десятков $a$ ненулевая. В троичной системе $\overline{ab}_{(3)}=3a+b$, где $a\in\{1,2\}$, $b\in\{0,1,2\}$.

а) $(10a+b)-(10b+a)=36$, поэтому $9(a-b)=36$ и $a-b=4$. При цифрах от 0 до 9 подходят пары $(a,b)=(4,0),(5,1),(6,2),(7,3),(8,4),(9,5)$. Получаем числа 40, 51, 62, 73, 84, 95.
б) $(10a+b)+(10b+a)=22$, откуда $11(a+b)=22$ и $a+b=2$. С учётом $a\ne0$ возможны пары $(1,1),(2,0)$. Получаем числа 11 и 20.
в) В троичной системе $(3a+b)+(3b+a)=12$, значит $4(a+b)=12$ и $a+b=3$. Из допустимых цифр подходят пары $(1,2),(2,1)$. Следовательно, числа — $\overline{12}_{(3)}$ и $\overline{21}_{(3)}$.
г) $(3a+b)-(3b+a)=2$, откуда $2(a-b)=2$ и $a-b=1$. Подходят пары $(1,0),(2,1)$. Следовательно, числа — $\overline{10}_{(3)}$ и $\overline{21}_{(3)}$.

Ответ: а) 40, 51, 62, 73, 84, 95; б) 11, 20; в) $\overline{12}_{(3)},\ \overline{21}_{(3)}$; г) $\overline{10}_{(3)},\ \overline{21}_{(3)}$.