147. На рисунке 255 ∠ACB = 90°, ∠BAC = 60°, ∠AEC = 90°. Найдите угол САЕ, если АВ = 20 см, СЕ = 5 см.

Дано:

• \[ \angle ACB = 90^{\circ} \]
• \[ \angle BAC = 60^{\circ} \]
• \[ \angle AEC = 90^{\circ} \]
• \[ AB = 20 \text{ см} \]
• \[ CE = 5 \text{ см} \]

Найти:

• \[ \angle CAE \]

Решение:

1. Найдём AC в треугольнике ABC:

   В прямоугольном треугольнике ABC:

   \[ \cos(\angle BAC) = \frac{AC}{AB} \]

   \[ \cos(60^{\circ}) = \frac{AC}{20} \]

   \[ \frac{1}{2} = \frac{AC}{20} \]

   \[ AC = \frac{20}{2} = 10 \text{ см} \]

2. Найдём AE в треугольнике AEC:

   В прямоугольном треугольнике AEC:

   \[ \sin(\angle CAE) = \frac{CE}{AC} \]

   Мы знаем AC = 10 см и CE = 5 см.

   \[ \sin(\angle CAE) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \]

3. Найдём угол CAE:

   Если [ \(\sin\)\(\angle CAE\) = \(\frac{1}{2}\) \], то

   \[ \angle CAE = 30^{\circ} \]

Ответ: 30°