149 Докажите, что при центральной симметрии плоскости: а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отобража ется на параллельную ей прямую; б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.

149. Центральная симметрия плоскости

а) Прямая, не проходящая через центр симметрии:

• Пусть дан центр симметрии O и прямая m, не проходящая через O.
• Возьмем две точки A и B на прямой m.
• При центральной симметрии относительно центра O, точки A и B отобразятся в точки A' и B' соответственно.
• По определению центральной симметрии, O является серединой отрезков AA' и BB'.
• Рассмотрим треугольники OAB и OA'B'. Они подобны, так как углы при O равны (вертикальные), а стороны, исходящие из O, пропорциональны.
• Следовательно, прямая, проходящая через A' и B', будет параллельна прямой m.

б) Прямая, проходящая через центр симметрии:

• Пусть дан центр симметрии O и прямая k, проходящая через O.
• Возьмем любую точку A на прямой k, отличную от O.
• При центральной симметрии относительно центра O, точка A отобразится в точку A', такую, что O — середина отрезка AA'.
• Так как O лежит на прямой k, то и точка A', симметричная A относительно O, также будет лежать на прямой k.
• Следовательно, прямая k отображается на себя.