149. Используя теорему синусов, решите треугольник ABC, если: а) AB = 8 см, ∠A = 30°, ∠B = 45°; б) AB = 5 см, ∠B = 45°, ∠C = 60°; в) AB = 3 см, BC = 3,3 см, ∠A = 48°30′; г) AC = 10,4 см, BC = 5,2 см, ∠B = 62°48′.

Обозначим стороны стандартно: a = BC, b = AC, c = AB. Используем теорему синусов: \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\).

а) \(C=180°-30°-45°=105°\). По теореме синусов:

\(a=8\frac{\sin30°}{\sin105°}\approx4.14\) см, \(b=8\frac{\sin45°}{\sin105°}\approx5.86\) см.

б) \(A=180°-45°-60°=75°\). Здесь \(c=AB=5\) см:

\(a=5\frac{\sin75°}{\sin60°}\approx5.58\) см, \(b=5\frac{\sin45°}{\sin60°}\approx4.08\) см.

в) Дано \(c=3\) см, \(a=3.3\) см, \(A=48°30′\). По теореме синусов \(\sin C=\frac{c\sin A}{a}\approx0.6818\). Возможны два значения угла: \(C_1\approx43°00′\) или \(C_2\approx137°00′\). Второе невозможно, поскольку \(A+C_2>180°\), значит \(C\approx43°00′\). Тогда \(B\approx88°30′\), а \(b=3.3\frac{\sin B}{\sin A}\approx4.38\) см.

г) \(b=AC=10.4\) см, \(a=BC=5.2\) см, \(B=62°48′\). По теореме синусов \(\sin A=\frac{a\sin B}{b}=0.5\sin62°48′\), откуда \(A\approx26°27′\). Второе значение синуса, \(153°33′\), невозможно, так как его сумма с углом \(B\) больше 180°. Поэтому \(C=180°-62°48′-26°27′\approx90°45′\). Тогда \(c=10.4\frac{\sin C}{\sin A}\approx23.35\) см.

Ответ: а) ∠C = 105°, BC ≈ 4,14 см, AC ≈ 5,86 см; б) ∠A = 75°, BC ≈ 5,58 см, AC ≈ 4,08 см; в) ∠B ≈ 88°30′, ∠C ≈ 43°00′, AC ≈ 4,38 см; г) ∠A ≈ 26°27′, ∠C ≈ 90°45′, AB ≈ 23,35 см.