149 Отрезки AB и CD — диаметры окружности. Докажите свойства хорд: а) хорды BD и AC равны; б) хорды AD и BC равны; в) ∠BAD = ∠BCD.

Пошаговое решение:

а) Доказательство равенства хорд BD и AC:

1. Рассмотрим треугольники ┤ AOC и ┤ BOD.
2. AO = BO и CO = DO (так как это радиусы одной окружности).
3. ∠ AOC = ∠ BOD (как вертикальные углы).
4. Следовательно, ┤ AOC = ┤ BOD по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
5. Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны AC = BD.

б) Доказательство равенства хорд AD и BC:

1. Рассмотрим треугольники ┤ AOD и ┤ BOC.
2. AO = BO и DO = CO (так как это радиусы одной окружности).
3. ∠ AOD = ∠ BOC (как вертикальные углы).
4. Следовательно, ┤ AOD = ┤ BOC по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
5. Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны AD = BC.

в) Доказательство равенства углов ∠BAD = ∠BCD:

1. Рассмотрим ┤ ABD. Так как AB — диаметр, то ∠ ADB — вписанный угол, опирающийся на диаметр. Следовательно, ∠ ADB = 90°.
2. Рассмотрим ┤ ABC. Так как AB — диаметр, то ∠ ACB — вписанный угол, опирающийся на диаметр. Следовательно, ∠ ACB = 90°.
3. Рассмотрим ┤ CAD. Так как CD — диаметр, то ∠ CAD — вписанный угол, опирающийся на диаметр. Следовательно, ∠ CAD = 90°.
4. Рассмотрим ┤ CBD. Так как CD — диаметр, то ∠ CBD — вписанный угол, опирающийся на диаметр. Следовательно, ∠ CBD = 90°.
5. Из пунктов 1 и 2 следует, что ∠ ADB = ∠ ACB = 90°.
6. Из пунктов 3 и 4 следует, что ∠ CAD = ∠ CBD = 90°.
7. Угол ∠ BAD = ∠ BAC + ∠ CAD.
8. Угол ∠ BCD = ∠ BCA + ∠ ACD.
9. Ранее мы доказали, что AC = BD и AD = BC.
10. Рассмотрим ┤ ABD и ┤ CDB. AB = CD (диаметры), BD — общая сторона, AD = BC. По трём сторонам ┤ ABD = ┤ CDB.
11. Значит, ∠ BAD = ∠ DCB (или ∠ BCD).

Ответ: Равенство хорд и углов доказано.