149 Отрезки AB и CD — диаметры окружности. Докажите свойства хорд: а) хорды BD и AC равны; б) хорды AD и BC равны; в) ∠BAD = ∠BCD.

Привет! Давай докажем эти свойства хорд. Нам дано, что AB и CD — это диаметры окружности с центром O.

1. а) Докажем, что хорды BD и AC равны.
   

   Чтобы доказать равенство хорд, мы можем доказать равенство треугольников, в которых эти хорды являются сторонами. Рассмотрим треугольники ΔAOD и ΔBOC:

   • OA = OB (это радиусы окружности).
   • OD = OC (это тоже радиусы окружности).
   • ∠AOD = ∠BOC (это вертикальные углы, они всегда равны).

   По двум сторонам и углу между ними (по второму признаку равенства треугольников), мы можем сказать, что ΔAOD = ΔBOC.

   Так как треугольники равны, то и их соответствующие стороны равны, а значит, AD = BC. (Это доказывает пункт б, но давайте вернемся к пункту а).

   Теперь рассмотрим треугольники ΔABD и ΔBAC. Они вписаны в окружность и опираются на диаметр AB, значит, они прямоугольные (углы ∠ADB и ∠ACB равны 90°).

   Теперь давайте посмотрим на треугольники ΔAOC и ΔBOD:

   • OA = OB (радиусы).
   • OC = OD (радиусы).
   • ∠AOC = ∠BOD (вертикальные углы).

   Следовательно, ΔAOC = ΔBOD по двум сторонам и углу между ними. Отсюда следует, что AC = BD. (Пункт а доказан!)

2. б) Докажем, что хорды AD и BC равны.
   

   Это мы уже доказали, когда разбирали пункт а! Мы нашли, что ΔAOD = ΔBOC, и отсюда следует, что AD = BC. (Пункт б доказан!)

3. в) Докажем, что ∠BAD = ∠BCD.
   

   Углы ∠BAD и ∠BCD — это вписанные углы, которые опираются на дуги BD и BD соответственно. Хорда BD — одна и та же. Следовательно, дуги, на которые она опирается, тоже равны. Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны.

   Другой способ доказать это: мы уже доказали, что ΔAOD = ΔBOC. Из этого следует, что ∠OAD = ∠OBC и ∠ODA = ∠OCB.

   Рассмотрим треугольники ΔABC и ΔADC. Они вписаны и опираются на диаметр AC, значит, они прямоугольные.

   Давайте вернемся к нашим равным треугольникам. Мы доказали, что ΔAOD = ΔBOC. Это означает, что ∠DAO = ∠CBO и ∠ADO = ∠BCO.

   Теперь рассмотрим углы ∠BAD и ∠BCD.

   Угол ∠BAD состоит из угла ∠OAD и угла ∠OAB. Угол ∠BCD состоит из угла ∠OCB и угла ∠OBC.

   Мы знаем, что ∠OAD = ∠OBC (из равенства ΔAOD = ΔBOC).

   Также рассмотрим треугольник ΔOAB. Он равнобедренный (OA = OB), значит, ∠OAB = ∠OBA.

   Рассмотрим треугольник ΔOCD. Он равнобедренный (OC = OD), значит, ∠OCD = ∠ODC.

   Теперь посмотрим на углы ∠BAD и ∠BCD. Угол ∠BAD = ∠OAD + ∠OAB. Угол ∠BCD = ∠OCB + ∠OBC.

   Поскольку ΔAOD = ΔBOC, то ∠OAD = ∠OBC. Также, так как ΔOAB и ΔOCD равнобедренные, ∠OAB = ∠OBA и ∠OCD = ∠ODC.

   Из равенства треугольников ΔAOD = ΔBOC следует, что ∠DAO = ∠CBO. Из равенства треугольников ΔOAB и ΔOCD (по двум сторонам и углу между ними, т.к. OA=OB, OC=OD и ∠AOB = ∠COD как вертикальные) следует, что AB = CD (что мы уже знаем, так как это диаметры), и ∠OAB = ∠OCD.

   Смотри, какой простой путь: Углы ∠BAD и ∠BCD — это вписанные углы. Угол ∠BAD опирается на дугу BD. Угол ∠BCD опирается на дугу BD. Так как они опираются на одну и ту же дугу, они равны!

   (Пункт в доказан!)

Молодец, что разобрался! Если остались вопросы, спрашивай.