149. Выполните действия: а) (x/(x + 1) + 1) · (1 + x)/(2x − 1); б) 5y²/(1 − y²) : (1 − 1/(1 − y)); в) (4a/(2 − a) − a) : (a + 2)/(a − 2); г) (x − 2)/(x − 3) · (x + x/(2 − x)).

а)

Приведём выражение в скобках к общей дроби:

\(\left(\frac{x}{x+1}+1\right)\cdot\frac{1+x}{2x-1}=\frac{x+x+1}{x+1}\cdot\frac{x+1}{2x-1}=\frac{2x+1}{2x-1}\).

Ограничения: \(x\ne-1\), \(x\ne\frac12\).

б)

Упростим выражение в скобках, затем заменим деление умножением на обратную дробь:

\(1-\frac1{1-y}=\frac{1-y-1}{1-y}=\frac{y}{y-1}\).

\(\frac{5y^2}{1-y^2}:\frac{y}{y-1}=\frac{5y^2}{(1-y)(1+y)}\cdot\frac{y-1}{y}=-\frac{5y}{y+1}\).

Ограничения исходного выражения: \(y\ne-1\), \(y\ne1\), а делитель не должен быть равен нулю, поэтому \(y\ne0\).

в)

Сначала упростим выражение в первых скобках:

\(\frac{4a}{2-a}-a=\frac{4a-a(2-a)}{2-a}=\frac{a(a+2)}{2-a}\).

Выполним деление:

\(\frac{a(a+2)}{2-a}:\frac{a+2}{a-2}=\frac{a(a+2)}{2-a}\cdot\frac{a-2}{a+2}=-a\).

Ограничения: \(a\ne2\), \(a\ne-2\) (делитель не должен быть равен нулю).

г)

Упростим выражение в скобках:

\(x+\frac{x}{2-x}=\frac{x(2-x)+x}{2-x}=\frac{x(3-x)}{2-x}=\frac{x(x-3)}{x-2}\).

Тогда

\(\frac{x-2}{x-3}\cdot\frac{x(x-3)}{x-2}=x\).

Ограничения: \(x\ne2\), \(x\ne3\).