15.14. Упростите: а) $\sqrt{\frac{m^3}{n^3}}$; б) $\sqrt{\frac{x^3}{8y^3}}$; в) $\sqrt{\frac{81c^6}{a^3}}$; г) $\sqrt{\frac{32c^7}{9b^6}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 15.14. Упростите: а) $\sqrt{\frac{m^3}{n^3}}$; б) $\sqrt{\frac{x^3}{8y^3}}$; в) $\sqrt{\frac{81c^6}{a^3}}$; г)…$ Фото задания

Accepted Answer

Предполагаем, что переменные положительны, как обычно принято в упражнениях на извлечение квадратного корня.

а) Выделяем полные квадраты: $\sqrt{\frac{m^3}{n^3}}=\sqrt{\frac{m^2}{n^2}\cdot\frac{m}{n}}=\frac{m}{n}\sqrt{\frac{m}{n}}$.
б) Выделяем множители, являющиеся полными квадратами: $\sqrt{\frac{x^3}{8y^3}}=\sqrt{\frac{x^2}{4y^2}\cdot\frac{x}{2y}}=\frac{x}{2y}\sqrt{\frac{x}{2y}}=\frac{x\sqrt{2x/y}}{2\sqrt{2}y}$. Удобнее рационализовать выражение: $\frac{x}{4y}\sqrt{\frac{2x}{y}}$.
в) Извлекаем корень из квадратных множителей: $\sqrt{\frac{81c^6}{a^3}}=\frac{9c^3}{a\sqrt a}=\frac{9c^3\sqrt a}{a^2}$.
г) Выделяем полные квадраты: $\sqrt{\frac{32c^7}{9b^6}}=\frac{4c^3\sqrt{2c}}{3b^3}$.

Ответ: а) $\frac{m}{n}\sqrt{\frac{m}{n}}$; б) $\frac{x}{4y}\sqrt{\frac{2x}{y}}$; в) $\frac{9c^3\sqrt a}{a^2}$; г) $\frac{4c^3\sqrt{2c}}{3b^3}$.

15.14. Упростите: а) \(\sqrt{\frac{m^3}{n^3}}\); б) \(\sqrt{\frac{x^3}{8y^3}}\); в) \(\sqrt{\frac{81c^6}{a^3}}\); г) \(\sqrt{\frac{32c^7}{9b^6}}\).