15.24. Использовав равнобедренный треугольник [текст обрезан], вычислите \(\sin 18^\circ\), \(\cos 18^\circ\), [дальнейший текст обрезан]. Указание. Проведите биссектрису угла [текст обрезан] треугольника.

Видимая часть задания просит найти \(\sin 18^\circ\) и \(\cos 18^\circ\). Остальная часть условия обрезана, поэтому нельзя установить, требуются ли дополнительные значения.

Пусть \(x=\cos 36^\circ\). По формуле двойного угла \(\cos 36^\circ=2\cos^2 18^\circ-1\). Для равнобедренного треугольника с углами при основании по \(72^\circ\) и углом при вершине \(36^\circ\) из теоремы синусов получается \(\sin 18^\circ=\frac{1}{2\cos 18^\circ}\). Используя также \(\sin^2 18^\circ+\cos^2 18^\circ=1\), получаем \(4x^2+2x-1=0\). Поскольку \(\cos 36^\circ>0\), \(x=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\).

Тогда \(\cos 18^\circ=\sqrt{\frac{1+x}{2}}=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\), а \(\sin 18^\circ=\frac{1}{2\cos 18^\circ}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\).

Ответ: \(\sin 18^\circ=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\), \(\cos 18^\circ=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\). Для проверки остальных возможных пунктов задания пришлите изображение целиком.