15.27. Упростите выражение: а) \(\sqrt{a^3b}+\frac{2}{3a}\sqrt{a^5b}\); б) \(\sqrt{m^5}+4m\sqrt{m^3}-m^2\sqrt m\); в) \(2a\sqrt{a^7b}-\sqrt{a^9b}\); г) \(\sqrt{81d^3}-5d\sqrt d+\frac{3}{d}\sqrt{4d^5}\).

Предполагаются положительные значения переменных, чтобы извлекать из квадратных корней их степени без модулей.

1. а) Выносим полные квадраты из-под корней: \(\sqrt{a^3b}=a\sqrt{ab}\), \(\sqrt{a^5b}=a^2\sqrt{ab}\). Тогда
   \(a\sqrt{ab}+\frac{2}{3a}a^2\sqrt{ab}=a\sqrt{ab}+\frac{2a}{3}\sqrt{ab}=\frac{5a}{3}\sqrt{ab}\).
2. б) \(\sqrt{m^5}=m^2\sqrt m\), \(\sqrt{m^3}=m\sqrt m\). Поэтому
   \(m^2\sqrt m+4m^2\sqrt m-m^2\sqrt m=4m^2\sqrt m\).
3. в) \(\sqrt{a^7b}=a^3\sqrt{ab}\), \(\sqrt{a^9b}=a^4\sqrt{ab}\). Следовательно,
   \(2a\cdot a^3\sqrt{ab}-a^4\sqrt{ab}=a^4\sqrt{ab}\).
4. г) \(\sqrt{81d^3}=9d\sqrt d\), \(\sqrt{4d^5}=2d^2\sqrt d\). Тогда
   \(9d\sqrt d-5d\sqrt d+\frac{3}{d}\cdot2d^2\sqrt d=10d\sqrt d\).

Ответ: а) \(\frac{5a}{3}\sqrt{ab}\); б) \(4m^2\sqrt m\); в) \(a^4\sqrt{ab}\); г) \(10d\sqrt d\).