15.48. Упростите дроби: а) $\dfrac{3\sqrt{x}-4\sqrt{y}}{9x-16y}$; б) $\dfrac{121a^2-144b}{12\sqrt{b}-11a}$; в) $\dfrac{25a-49b}{5\sqrt{a}+7\sqrt{b}}$; г) $\dfrac{9\sqrt{ab}-4\sqrt{c}}{16c-81ab}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 15.48. Упростите дроби: а) $\dfrac{3\sqrt{x}-4\sqrt{y}}{9x-16y}$; б) $\dfrac{121a^2-144b}{12\sqrt{b}-11a}$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатель как разность квадратов: $9x-16y=(3\sqrt{x}-4\sqrt{y})(3\sqrt{x}+4\sqrt{y})$. Сокращаем общие множители:
\[\frac{3\sqrt{x}-4\sqrt{y}}{9x-16y}=\frac{1}{3\sqrt{x}+4\sqrt{y}}.\]
Разложим числитель: $121a^2-144b=(11a-12\sqrt{b})(11a+12\sqrt{b})$. Поскольку $12\sqrt{b}-11a=-(11a-12\sqrt{b})$, получаем:
\[\frac{121a^2-144b}{12\sqrt{b}-11a}=-(11a+12\sqrt{b}).\]
Разложим числитель: $25a-49b=(5\sqrt{a}-7\sqrt{b})(5\sqrt{a}+7\sqrt{b})$. Сокращаем общий множитель:
\[\frac{25a-49b}{5\sqrt{a}+7\sqrt{b}}=5\sqrt{a}-7\sqrt{b}.\]
Заметим, что $16c-81ab=(4\sqrt{c}-9\sqrt{ab})(4\sqrt{c}+9\sqrt{ab})$, а числитель равен $-(4\sqrt{c}-9\sqrt{ab})$. Поэтому:
\[\frac{9\sqrt{ab}-4\sqrt{c}}{16c-81ab}=-\frac{1}{4\sqrt{c}+9\sqrt{ab}}.\]

Ответ: а) $\dfrac{1}{3\sqrt{x}+4\sqrt{y}}$; б) $-11a-12\sqrt{b}$; в) $5\sqrt{a}-7\sqrt{b}$; г) $-\dfrac{1}{4\sqrt{c}+9\sqrt{ab}}$.

15.48. Упростите дроби: а) \(\dfrac{3\sqrt{x}-4\sqrt{y}}{9x-16y}\); б) \(\dfrac{121a^2-144b}{12\sqrt{b}-11a}\); в) \(\dfrac{25a-49b}{5\sqrt{a}+7\sqrt{b}}\); г) \(\dfrac{9\sqrt{ab}-4\sqrt{c}}{16c-81ab}\).