15. ABCD — параллелограмм, AC = 16 см, BD = 10 см, AB = 8 см. Найдите периметр параллелограмма и площадь треугольника OCD.

Обозначим точку пересечения диагоналей параллелограмма через O.

1. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому AO = OC = 8 см и BO = OD = 5 см.
2. Для сторон параллелограмма используем свойство диагоналей:
   \(AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + BC^2)\).
   \(16^2 + 10^2 = 2(8^2 + BC^2)\).
   \(356 = 2(64 + BC^2)\).
   \(BC^2 = 114\), поэтому \(BC = \sqrt{114}\) см.
3. Периметр:
   \(P = 2(AB + BC) = 2(8 + \sqrt{114}) = 16 + 2\sqrt{114}\) см.
4. Найдём площадь параллелограмма по диагоналям. Сначала определим косинус угла между диагоналями:
   \(\cos\varphi = \dfrac{AC^2 - BD^2}{2\cdot AC\cdot BD} = \dfrac{256 - 100}{2\cdot16\cdot10} = \dfrac{39}{40}\).
   Тогда \(\sin\varphi = \sqrt{1 - \left(\dfrac{39}{40}\right)^2} = \dfrac{\sqrt{231}}{40}\).
5. Площадь параллелограмма:
   \(S_{ABCD} = \dfrac12 AC\cdot BD\cdot\sin\varphi = \dfrac12\cdot16\cdot10\cdot\dfrac{\sqrt{231}}{40} = 5\sqrt{231}\) см².
6. Диагонали делят параллелограмм на четыре равновеликих треугольника, поэтому:
   \(S_{OCD} = \dfrac14 S_{ABCD} = \dfrac{5\sqrt{231}}4\) см².

Ответ: \(P = 16 + 2\sqrt{114}\) см; \(S_{OCD} = \dfrac{5\sqrt{231}}4\) см².