15 Автобус ехал по городу со скоростью 45 км/ч, а затем по трассе. По трассе он проехал на 164 км больше, чем по городу, и ехал на 25 км/ч быстрее. Сколько минут он ехал по городу, если вся поездка заняла ровно три часа?

Решение:

1. Обозначим переменные:

   Пусть t_г — время в часах, которое автобус ехал по городу, а t_т — время в часах, которое автобус ехал по трассе.

   Пусть S_г — расстояние в км, которое автобус проехал по городу, а S_т — расстояние в км, которое автобус проехал по трассе.

   Скорость по городу: v_г = 45 км/ч.

   Скорость по трассе: v_т = 45 + 25 = 70 км/ч.

2. Составим уравнения:

   Общее время поездки: t_г + t_т = 3 часа.

   Расстояние по трассе на 164 км больше, чем по городу: S_т = S_г + 164.

   Мы знаем, что расстояние = скорость × время. Поэтому:

   • S_г = v_г × t_г = 45 × t_г
   • S_т = v_т × t_т = 70 × t_т
3. Подставим известные значения в уравнения:

   Заменим S_г и S_т в уравнении расстояния:

   70 × t_т = 45 × t_г + 164

   Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

   • 1) t_г + t_т = 3
   • 2) 70 × t_т = 45 × t_г + 164
4. Решим систему уравнений:

   Из первого уравнения выразим t_т: t_т = 3 - t_г.

   Подставим это выражение во второе уравнение:

   70 × (3 - t_г) = 45 × t_г + 164

   Раскроем скобки:

   210 - 70 × t_г = 45 × t_г + 164

   Сгруппируем члены с t_г в одной части, а числа — в другой:

   210 - 164 = 45 × t_г + 70 × t_г

   46 = 115 × t_г

   Найдем t_г:

   t_г = 46 / 115 часа.

5. Переведем время в минуты:

   Чтобы перевести часы в минуты, умножим на 60:

   t_г (в минутах) = (46 / 115) × 60

   t_г (в минутах) = 46 × (60 / 115)

   Упростим дробь (разделим числитель и знаменатель на 5):

   t_г (в минутах) = 46 × (12 / 23)

   Заметим, что 46 = 2 × 23. Сократим 23:

   t_г (в минутах) = 2 × 12 = 24 минуты.

Проверка:

• Если t_г = 46/115 часа, то t_т = 3 - 46/115 = (345 - 46) / 115 = 299/115 часа.
• S_г = 45 × (46/115) = (45 × 46) / 115 = 2070 / 115 = 18 км.
• S_т = 70 × (299/115) = (70 × 299) / 115 = 20930 / 115 = 182 км.
• Разница в расстоянии: S_т - S_г = 182 - 18 = 164 км. Это соответствует условию.
• Общее время: t_г + t_т = 46/115 + 299/115 = 345/115 = 3 часа. Это также соответствует условию.

Ответ: 24