15. Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, то получится правильный восьмиугольник.

Решение:

Пусть дан правильный восьмиугольник ABCDEFGH. Соединим середины его сторон: K (середина AB), L (середина BC), M (середина CD), N (середина DE), O (середина EF), P (середина FG), Q (середина GH), R (середина HA). Мы получим четырехугольник KLMNOPQR.

Доказательство:

1. Равные стороны: Рассмотрим треугольники, образованные сторонами восьмиугольника и отрезками, соединяющими середины сторон: \( \triangle KBL, \triangle LCM, \triangle MDN \) и т.д. Эти треугольники являются равнобедренными (например, \( KB = BL = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} BC \) в \( \triangle KBL \)) и имеют равные углы при вершинах B, C, D и т.д. (по \( 135^{\circ} \) как внутренние углы правильного восьмиугольника). По теореме косинусов, все стороны KL, LM, MN и т.д. будут равны.
2. Равные углы: Углы нового восьмиугольника KLMNOPQR также будут равны. Рассмотрим угол \( \angle KLB \) в \( \triangle KBL \). Так как \( \triangle KBL \) равнобедренный, \( \angle BKL = \angle BLK = \frac{180^{\circ} - 135^{\circ}}{2} = 22.5^{\circ} \). Угол \( \angle KLM \) будет равен \( 180^{\circ} - \angle BLK - \angle CLM \). Угол \( \angle CLM = \angle BKL = 22.5^{\circ} \) (так как \( \triangle LCM \) равнобедренный и \( \angle BCD = 135^{\circ} \)). Следовательно, \( \angle KLM = 180^{\circ} - 22.5^{\circ} - 22.5^{\circ} = 135^{\circ} \).
3. Правильный восьмиугольник: Поскольку все стороны восьмиугольника KLMNOPQR равны и все его углы равны \( 135^{\circ} \), он является правильным восьмиугольником.

Вывод: Соединив середины сторон правильного восьмиугольника, мы получим новый правильный восьмиугольник.