15. Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону U = U0 sin(ωt+φ), где t — время в секундах, амплитуда U0 = 2 В, частота ω = 120°/с, фаза φ = -30°. Датчик настроен так, что если напряжение в нем не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Привет! Давай разберемся с этой задачей по физике. Нам нужно узнать, какой процент времени в течение первой секунды горит лампочка, если она включается, когда напряжение не ниже 1 В.

1. Запишем исходные данные:

• Амплитуда напряжения: U_0 = 2 В
• Частота: \(\omega\) = 120°/с \(или 120 \times \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3} рад/с\)
• Начальная фаза: \(\varphi\) = -30° \(или -\frac{\pi}{6} рад\)
• Условие включения лампочки: U \(\ge\) 1 В
• Время: t от 0 до 1 с

2. Запишем уравнение напряжения:

Нам дано уравнение: U = U_0 \(\text{sin}\)\(\omega t + \varphi\). Подставим известные значения:

U(t) = 2 \(\text{sin}\)(120t - 30°)

Для удобства переведем градусы в радианы:

\(\varphi\) = -30° = -\(\frac{\pi}{6}\) радиан.

\(\omega\) = 120°/с — это угловая скорость. Чтобы получить значение в радианах в секунду, нужно умножить на \(\frac{\pi}{180}\). Но здесь, похоже, в задаче используется градусная мера как угловая скорость. Будем работать с градусами, чтобы не запутаться.

U(t) = 2 \(\text{sin}\)(120t - 30°)

3. Найдем время, когда лампочка горит:

Лампочка горит, когда U \(\ge\) 1 В. То есть:

2 \(\text{sin}\)(120t - 30°) \(\ge\) 1

Разделим обе части на 2:

\(\text{sin}\)(120t - 30°) \(\ge\) 0.5

Теперь найдем углы, для которых синус равен 0.5. Это 30° \(или \frac{\pi}{6} радиан\).

Значит, условие выполняется, когда аргумент синуса находится в интервале:

30° + 360°k \(\le\) 120t - 30° \(\le\) 150° + 360°k, где k — целое число.

Прибавим 30° ко всем частям неравенства:

60° + 360°k \(\le\) 120t \(\le\) 180° + 360°k

Разделим все части на 120:

\(\frac{60°}{120}\) + \(\frac{360°k}{120}\) \(\le\) t \(\le\) \(\frac{180°}{120}\) + \(\frac{360°k}{120}\)

0.5° + 3k \(\le\) t \(\le\) 1.5° + 3k

Здесь мы допустили ошибку, так как 120 — это угловая скорость, а не угол. Пересчитаем, используя радианы для частоты, как это обычно делается в физике.

\(\omega\) = 120 \(\text{ рад/с}\)

\(\varphi\) = -30° = -\(\frac{\pi}{6}\) радиан

Уравнение напряжения: U(t) = 2 \(\text{sin}\)\(120t - \frac{\pi}{6}\)

Условие: U(t) \(\ge\) 1

2 \(\text{sin}\)\(120t - \frac{\pi}{6}\) \(\ge\) 1\(\text{sin}\)\(120t - \frac{\pi}{6}\) \(\ge\) 0.5

Значения, для которых \(\text{sin}\)(x) = 0.5, это x = \(\frac{\pi}{6}\) и x = \(\frac{5\pi}{6}\).

Таким образом, неравенство выполняется, когда:

\(\frac{\pi}{6}\) + 2\(\pi\) k \(\le\) 120t - \(\frac{\pi}{6}\) \(\le\) \(\frac{5\pi}{6}\) + 2\(\pi\) k

Прибавим \(\frac{\pi}{6}\) ко всем частям:

\(\frac{\pi}{6}\) + \(\frac{\pi}{6}\) + 2\(\pi\) k \(\le\) 120t \(\le\) \(\frac{5\pi}{6}\) + \(\frac{\pi}{6}\) + 2\(\pi\) k

\(\frac{2\pi}{6}\) + 2\(\pi\) k \(\le\) 120t \(\le\) \(\frac{6\pi}{6}\) + 2\(\pi\) k

\(\frac{\pi}{3}\) + 2\(\pi\) k \(\le\) 120t \(\le\) \(\pi\) + 2\(\pi\) k

Разделим все части на 120:

\(\frac{\pi}{3 \times 120}\) + \(\frac{2\pi k}{120}\) \(\le\) t \(\le\) \(\frac{\pi}{120}\) + \(\frac{2\pi k}{120}\)

\(\frac{\pi}{360}\) + \(\frac{\pi k}{60}\) \(\le\) t \(\le\) \(\frac{\pi}{120}\) + \(\frac{\pi k}{60}\)

Нас интересует первая секунда, то есть 0 {s} \(\text{s}\). При k=0 получаем:

\(\frac{\pi}{360}\) \(\text{s}\) \(\text{approx }\) 0.0087 \(\text{ s}\)\(\frac{\pi}{120}\) \(\text{s}\) \(\text{approx }\) 0.0262 \(\text{ s}\)

Время, когда лампочка горит в первом интервале первой секунды: \(\Delta\) t_1 = \(\frac{\pi}{120}\) - \(\frac{\pi}{360}\) = \(\frac{3\pi - \pi}{360}\) = \(\frac{2\pi}{360}\) = \(\frac{\pi}{180}\) с.

Теперь рассмотрим следующий интервал, когда k=1. Но этот интервал будет за пределами первой секунды, так как \(\frac{\pi}{120}\) + \(\frac{\pi}{60}\) = \(\frac{\pi + 2\pi}{120}\) = \(\frac{3\pi}{120}\) = \(\frac{\pi}{40}\) \(\text{ s}\), что меньше 1. А вот следующее начало интервала будет \(\frac{\pi}{360}\) + \(\frac{\pi}{60}\) = \(\frac{\pi + 6\pi}{360}\) = \(\frac{7\pi}{360}\) \(\text{ s}\). Следующий конец интервала будет \(\frac{\pi}{120}\) + \(\frac{\pi}{60}\) = \(\frac{3\pi}{120}\) = \(\frac{\pi}{40}\) \(\text{ s}\). Это всё еще в пределах первой секунды.

Нужно найти все интервалы в пределах [0, 1].

Найдем, когда 120t - \(\frac{\pi}{6}\) находится в интервале [\(\frac{\pi}{6}\), \(\frac{5\pi}{6}\)]. Это первый полупериод, когда синус положительный.

120t - \(\frac{\pi}{6}\) = \(\frac{\pi}{6}\) \(\text{ }\) \(\rightarrow\) 120t = \(\frac{\pi}{3}\) \(\text{ }\) \(\rightarrow\) t = \(\frac{\pi}{360}\)

120t - \(\frac{\pi}{6}\) = \(\frac{5\pi}{6}\) \(\text{ }\) \(\rightarrow\) 120t = \(\pi\) \(\text{ }\) \(\rightarrow\) t = \(\frac{\pi}{120}\)

Продолжительность этого интервала: \(\frac{\pi}{120}\) - \(\frac{\pi}{360}\) = \(\frac{2\pi}{360}\) = \(\frac{\pi}{180}\) с.

Следующий интервал, когда \(\text{sin}\)(x) \(\ge\) 0.5, это когда x находится в [\(\frac{\pi}{6}\) + 2\(\pi\), \(\frac{5\pi}{6}\) + 2\(\pi\)], что тоже даст \(\frac{\pi}{180}\) длительности. Но нам важен интервал по времени t.

Давайте посмотрим на полный период синусоиды. Период T = \(\frac{2\pi}{\omega}\) = \(\frac{2\pi}{120}\) = \(\frac{\pi}{60}\) с.

В пределах одного периода T, синус будет больше или равен 0.5 в течение времени \(\frac{\pi}{180}\) с.

Найдем, сколько таких полных периодов укладывается в 1 секунду:

N = \(\frac{1}{T}\) = \(\frac{1}{\pi/60}\) = \(\frac{60}{\pi}\) \(\text{approx }\) 19.09

В каждом периоде есть один интервал, когда U \(\ge\) 1 В, длительностью \(\frac{\pi}{180}\) с.

Общее время, когда лампочка горит в течение 1 секунды, будет примерно:

\(\text{Total time}\) = N \(\times\) \(\frac{\pi}{180}\) = \(\frac{60}{\pi}\) \(\times\) \(\frac{\pi}{180}\) = \(\frac{60}{180}\) = \(\frac{1}{3}\) с.

4. Рассчитаем процент времени:

Время, когда лампочка горит = \(\frac{1}{3}\) с.

Общее время = 1 с.

Процент времени = \(\frac\){\(\text{Время горения}\)}{\(\text{Общее время}\)} \(\times\) 100%

\(\text{Percentage}\) = \(\frac{1/3}{1}\) \(\times\) 100% = \(\frac{100}{3}\)% \(\text{approx }\) 33.33%

Ответ: 33.33%