Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Обозначим ребро куба через \(a\). Пространственная диагональ куба равна \(a\sqrt{3}\), поэтому \(a\sqrt{3}=3\) и \(a=\sqrt{3}\).
Расположим вершины в координатах: \(A=(0,0,0)\), \(B=(a,0,0)\), \(D=(0,a,0)\), \(C=(a,a,0)\), \(A_1=(0,0,a)\), \(C_1=(a,a,a)\). Вектор \(\overrightarrow{A_1C}=(a,a,-a)\), его длина равна 3. Так как \(A_1P=4\), точка \(P\) лежит за точкой \(C\) на луче \(A_1C\): \(P=A_1+\frac{4}{3}\overrightarrow{A_1C}=(\frac{4a}{3},\frac{4a}{3},-\frac{a}{3})\).
а) Проверим длины рёбер тетраэдра. У куба \(BD=a\sqrt{2}\), а диагональ грани \(BC_1=DC_1=a\sqrt{2}\). Кроме того, поскольку \(P\) лежит на продолжении \(A_1C\), получаем \(PC=4-3=1\). Отрезки \(BC\) и \(DC\) перпендикулярны \(A_1C\), а их длины равны \(a\). Следовательно, по теореме Пифагора \(PB=PD=\sqrt{PC^2+a^2}=\sqrt{1+3}=2\). Также \(C_1C=a\), поэтому \(PC_1=\sqrt{PC^2+a^2}=2\).
Таким образом, рёбра имеют длины \(PB=PD=PC_1=2\), но \(BD=BC_1=DC_1=a\sqrt{2}=\sqrt{6}\). Эти длины не равны, следовательно, утверждение, что \(PBDC_1\) — правильный тетраэдр, неверно при данных условия.
б) Вектор \(\overrightarrow{AP}=(\frac{4a}{3},\frac{4a}{3},-\frac{a}{3})\), поэтому
\[AP=\sqrt{\left(\frac{4a}{3}\right)^2+\left(\frac{4a}{3}\right)^2+\left(-\frac{a}{3}\right)^2}=\frac{a\sqrt{33}}{3}=\sqrt{11}.\]
Ответ: утверждение пункта а) противоречит указанным данным; \(AP=\sqrt{11}\).
