15. Для того, чтобы записать 0,4(5) в виде обыкновенной дроби, Анar составил уравнение и решил его. Как можно объяснить метод решения Анара? Проверьте правильность ответа несколькими способами.

Обозначим периодическую дробь через x: x = 0,45555… Умножение на 10 переносит запятую на один знак вправо, поэтому периодическая часть у 10x начинается сразу после запятой:

10x = 4,555… = 4 + 0,555… = 4 + 5/9 = 41/9.

Делим обе части равенства на 10: x = (41/9) : 10 = 41/90. Таким образом, метод Анара основан на замене периодической дроби переменной и выражении бесконечной периодической части через обыкновенную дробь.

Проверка 1. Разложим десятичную дробь на непериодическую и периодическую части: 0,4(5) = 4/10 + 5/100 + 5/1000 + … = 4/10 + (5/100)(1 + 1/10 + 1/100 + …). Сумма бесконечной геометрической прогрессии в скобках равна 10/9, поэтому 0,4(5) = 4/10 + 1/18 = 2/5 + 1/18 = 41/90.

Проверка 2. Разделим 41 на 90: 41/90 = 0,45555… В десятичной записи после цифры 4 повторяется цифра 5, значит, получается 0,4(5).

Ответ: 0,4(5) = 41/90; ответ Анара верен.