15. Докажите, что прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является квадратом.

Пусть прямоугольник ABCD имеет перпендикулярные диагонали AC и BD, пересекающиеся в точке O.

1. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому AO = BO.
2. Так как диагонали перпендикулярны, ∠AOB = 90°. Следовательно, треугольник AOB — равнобедренный прямоугольный, поэтому ∠OAB = ∠ABO = 45°.
3. Диагональ AC делит прямой угол DAB пополам: ∠DAB = 90°, а ∠OAB = 45°, значит ∠DAO = 45°. Поскольку точки A, O, C лежат на одной прямой, ∠DAC = 45°. Аналогично все углы треугольника ADC равны 45°, 45°, 90°, откуда AD = DC.
4. Прямоугольник с равными соседними сторонами является ромбом: все его стороны равны. У него все углы прямые, следовательно, ABCD — квадрат.

Что и требовалось доказать.