15. Изготовили полую трубу с толщиной стенки 2 см. Найдите радиус трубы, если известно, что длина окружности полой части вдвое меньше длины окружности всей трубы.

Решение:

Пусть \( R \) — внешний радиус трубы, а \( r \) — внутренний радиус трубы. Толщина стенки трубы равна 2 см, значит, \( R = r + 2 \).

Длина окружности всей трубы (внешняя) равна \( L_{внеш} = 2 π R \).

Длина окружности полой части (внутренняя) равна \( L_{внутр} = 2 π r \).

По условию, длина окружности полой части вдвое меньше длины окружности всей трубы:

\( L_{внутр} = \frac{1}{2} L_{внеш} \)

Подставим формулы для длин окружностей:

\( 2 π r = \frac{1}{2} (2 π R) \)

Сократим \( 2π \) из обеих частей уравнения:

\( r = \frac{1}{2} R \)

Теперь подставим \( R = r + 2 \) в полученное уравнение:

\( r = \frac{1}{2} (r + 2) \)

Умножим обе части на 2:

\( 2r = r + 2 \)

Вычтем \( r \) из обеих частей:

\( 2r - r = 2 \)

\( r = 2 \) см.

Это внутренний радиус. Теперь найдем внешний радиус:

\( R = r + 2 = 2 + 2 = 4 \) см.

В условии задачи не уточнено, какой радиус трубы нужно найти — внешний или внутренний. Обычно под "радиусом трубы" подразумевают внешний радиус, если не указано иное.

Если требуется найти внутренний радиус, то ответ 2 см.

Если требуется найти внешний радиус, то ответ 4 см.

Проверим условие: длина внутренней окружности \( 2 π · 2 = 4 π \), длина внешней окружности \( 2 π · 4 = 8 π \). Действительно, \( 4π = \frac{1}{2} 8π \).

Ответ: Внешний радиус трубы равен 4 см, внутренний радиус равен 2 см.