15) К плоскости квадрата ABCD через вершину B проведён отрезок KB так, что KB ⟂ AB и KB ⟂ BC. Сторона квадрата — 16 см, а длина отрезка KB = 30 см. Найди синус линейных углов α и β между плоскостью квадрата и плоскостями KAD и KCD.

Линейный угол между плоскостями KAD и ABCD имеет вершину на AD. Рассмотрим сечение плоскостью, перпендикулярной AD и проходящей через K и B. В нём катеты равны KB = 30 см и расстоянию от B до AD, которое равно стороне квадрата, то есть 16 см.

Расстояние от K до AD — гипотенуза прямоугольного треугольника:

\(\sqrt{30^2+16^2}=\sqrt{900+256}=34\) см.

Синус линейного угла α равен отношению перпендикулярного к плоскости квадрата отрезка KB к расстоянию от K до AD:

\(\sin\alpha=\frac{30}{34}=\frac{15}{17}\).

Для плоскостей KCD и ABCD аналогично: их линия пересечения — CD, а расстояние от B до CD также равно 16 см. Поэтому

\(\sin\beta=\frac{30}{\sqrt{30^2+16^2}}=\frac{15}{17}\).

Ответ: \(\sin\alpha=\sin\beta=\frac{15}{17}\).