15. Катер прошел из пункта A по озеру расстояние 5 км, затем он повернул обратно под углом 150°. После этого он двигался до тех пор, пока направление на пункт A не стало составлять угол 90° с направлением его движения. Каково перемещение катера? Какое расстояние до пункта A ему еще предстоит пройти?

Пусть катер прошёл от пункта \(A\) до точки \(B\): \(AB=5\) км. Затем он изменил направление на угол \(150^\circ\).

В момент, когда направление движения перпендикулярно направлению на пункт \(A\), катер находится на перпендикуляре, опущенном из точки \(A\) на новое направление движения. Поэтому расстояние от \(A\) до этого направления равно:

\[s=AB\sin150^\circ=5\cdot\frac12=2.5\text{ км}.\]

Это и есть модуль перемещения катера от начального положения до конечного.

Так как конечное направление движения перпендикулярно направлению на пункт \(A\), расстояние до пункта \(A\), которое катеру ещё предстоит пройти по этому направлению, также равно \(2.5\) км.

Ответ: перемещение катера — 2,5 км; до пункта A ему осталось пройти 2,5 км.