15. Катер прошел из пункта A по озеру расстояние 5 км, затем повернул под углом 30° к направлению своего движения. После этого он двигался до тех пор, пока направление на пункт A не стало составлять угол 90° с направлением его движения. Каково перемещение катера? Какое расстояние до пункта A ему еще предстоит пройти?

Обозначим через B место поворота катера, а через C — точку, где направление движения стало перпендикулярно направлению на пункт A.

Треугольник ABC прямоугольный, причём AB = 5 км, угол B = 30°, а AC — расстояние от катера до пункта A.

Перемещение катера — это отрезок AC:

\(AC = AB \cdot \sin 30^\circ = 5 \cdot 0.5 = 2.5\) км.

После поворота катер движется по отрезку BC, поэтому расстояние, которое ему ещё предстоит пройти до пункта A, также равно \(AC\).

Ответ: перемещение катера — 2,5 км; до пункта A ему ещё предстоит пройти 2,5 км.