15 Косинус острого угла А треугольника ABC равен \( \frac{2\sqrt{6}}{5} \). Найдите sin A.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

\[ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \]

Нам дан косинус угла A: \( \cos A = \frac{2\sqrt{6}}{5} \).

Подставим это значение в тождество:

\[ \sin^2 A + \left( \frac{2\sqrt{6}}{5} \right)^2 = 1 \]

\[ \sin^2 A + \frac{(2\sqrt{6})^2}{5^2} = 1 \]

\[ \sin^2 A + \frac{4 \times 6}{25} = 1 \]

\[ \sin^2 A + \frac{24}{25} = 1 \]

Теперь найдем \( \sin^2 A \):

\[ \sin^2 A = 1 - \frac{24}{25} \]

\[ \sin^2 A = \frac{25}{25} - \frac{24}{25} \]

\[ \sin^2 A = \frac{1}{25} \]

Чтобы найти \( \sin A \), извлечем квадратный корень из обеих частей:

\[ \sin A = \pm \sqrt{\frac{1}{25}} \]

\[ \sin A = \pm \frac{1}{5} \]

По условию задачи, угол A является острым (то есть \(0^\circ < A < 90^\circ\)). В первой четверти (для острых углов) синус всегда положителен.

Следовательно, мы выбираем положительное значение:

\[ \sin A = \frac{1}{5} \]

Ответ: \( \frac{1}{5} \)