15. Медианы треугольника делят треугольник на шесть равновеликих треугольников.

Пусть в треугольнике проведены три медианы, пересекающиеся в точке G. Точка G — центр тяжести: она делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Рассмотрим треугольник ABC и медиану из вершины C к стороне AB. Расстояние от G до AB равно одной трети высоты, опущенной из C на AB. Поэтому площадь треугольника ABG равна одной трети площади ABC.

Медиана из C делит AB пополам. Треугольники с вершинами A, G и серединой AB, а также B, G и серединой AB имеют равные основания и общую высоту, значит, их площади равны. Каждый из них составляет половину площади ABG, то есть одну шестую площади ABC. То же рассуждение применимо к двум другим сторонам.

Следовательно, все шесть треугольников равновелики.