15. Моторная лодка прошла против течения реки 288 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Задание 15. Скорость лодки

Дано:

• Расстояние против течения: \( S = 288 \) км.
• Скорость течения: \( v_{теч} = 4 \) км/ч.
• Время на обратный путь (по течению) на 3 часа меньше, чем против течения.

Найти: Скорость лодки в неподвижной воде \( v_{лодки} \).

Решение:

1. Обозначим скорость лодки в неподвижной воде как \( x \) км/ч.
2. Скорость лодки против течения: \( v_{против} = x - v_{теч} = x - 4 \) км/ч.
3. Скорость лодки по течению: \( v_{по} = x + v_{теч} = x + 4 \) км/ч.
4. Время в пути против течения: \( t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{288}{x - 4} \) часа.
5. Время в пути по течению: \( t_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{288}{x + 4} \) часа.
6. По условию, \( t_{по} = t_{против} - 3 \).
7. Подставим выражения для времени: \[ \frac{288}{x + 4} = \frac{288}{x - 4} - 3 \]
8. Приведём к общему знаменателю и решим уравнение: \[ \frac{288}{x + 4} - \frac{288}{x - 4} = -3 \]
9. \[ \frac{288(x - 4) - 288(x + 4)}{(x + 4)(x - 4)} = -3 \]
10. \[ \frac{288x - 1152 - 288x - 1152}{x^2 - 16} = -3 \]
11. \[ \frac{-2304}{x^2 - 16} = -3 \]
12. \[ -2304 = -3(x^2 - 16) \]
13. \[ 2304 = 3x^2 - 48 \]
14. \[ 3x^2 = 2304 + 48 \]
15. \[ 3x^2 = 2352 \]
16. \[ x^2 = \frac{2352}{3} \]
17. \[ x^2 = 784 \]
18. \[ x = \sqrt{784} = 28 \]
19. Так как скорость должна быть положительной, \( x = 28 \) км/ч.

Ответ: Скорость лодки в неподвижной воде равна 28 км/ч.